A posição de uma partícula no eixo x é dada por x(t)=t^{3}-27 t+4 \operatorname{com} x em metros e t em segundos.
(a) Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula.
(b) Existe algum instante para o qual v=0 ?
(c) Existe algum instante para o qual a=0 ?
(d) Descreva o movimento da partícula para:
d. 1 - em t=0;
d. 2 - para 0<t<3;
d. 3 - em t=3;
d. 4 - para $t>3.

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t) = t^3 - 27\,t + 4
em que x está em metros e t em segundos. Precisamos aplicar derivadas para obter a velocidade v(t) e a aceleração a(t), em seguida achar os instantes em que v=0 e a=0, e por fim analisar o sinal de v e a nos intervalos de tempo pedidos para descrever o movimento.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^3 - 27\,t + 4\bigr) = 3\,t^2 - 27.
A aceleração é a derivada de v(t):
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(3\,t^2 - 27\bigr) = 6\,t.

Passo 3

Para achar quando v=0 resolvemos
3\,t^2 - 27 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm 3.
Portanto existem instantes t=-3,s e t=3,s em que a velocidade se anula. Se restringirmos a t\ge0, fica t=3,s.

Passo 4

Para achar quando a=0 resolvemos
6\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 0.

Passo 5

Em t=0:
v(0) = 3\cdot0^2 - 27 = -27\\ \text{m/s}, \qquad a(0) = 6\cdot0 = 0\\ \text{m/s}^2.
Isto diz que no instante inicial a partícula se move para x decrescente (velocidade negativa) sem aceleração momentânea.

Passo 6

Para 0 < t < 3:
v(t) = 3\,(t^2 -9) < 0 \quad\text{(pois \(t^2<9\))}, \qquad a(t) = 6\,t > 0.
Logo, a partícula segue para valores menores de x (velocidade negativa) mas com aceleração positiva, isto é, está freando no sentido negativo.

Passo 7

Em t=3:
v(3) = 3\cdot3^2 -27 = 0, \qquad a(3) = 6\cdot3 = 18\\ \text{m/s}^2.
A velocidade anula e a aceleração é positiva, indicando inversão de movimento — de ir para -x agora passa a ir para +x.

Passo 8

Para t > 3:
v(t)=3\,(t^2-9)>0, \qquad a(t)=6\,t>0.
Assim, a partícula segue para x crescente e sua velocidade aumenta (acelera no mesmo sentido do movimento).

Resposta

(a) v(t)=3t^2-27, a(t)=6t.
(b) Sim: v=0 em t=-3,s e t=3,s (considerando t\ge0, apenas t=3,s).
(c) Sim: a=0 em t=0.
(d1) Em t=0: v(0)=-27,m/s, a(0)=0.
(d2) Para 0<t<3: v<0, a>0 (movimento para x decrescente com desaceleração).
(d3) Em t=3: v=0, a=18,m/ s^{2} (inversão de movimento).
(d4) Para t>3: v>0, a>0 (movimento para x crescente com aceleração).

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