Por processo de integração, e utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelo loop da curva
(x+y)^{2} \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 a^{2} x y .

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo laço da curva
(x+y)^{2}\,(x^{2}+y^{2})=2a^{2}xy
Usaremos coordenadas polares \displaystyle x=r\cos\theta, \displaystyle y=r\sin\theta e a fórmula da área em polares
A=\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}r(\theta)^{2}\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
(x+y)^{2}=r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)^{2}=r^{2}\bigl(1+\sin2\theta\bigr),
x^{2}+y^{2}=r^{2},
2a^{2}xy=2a^{2}r^{2}\cos\theta\sin\theta=a^{2}r^{2}\sin2\theta.
Substituindo na equação da curva:
r^{2}(1+\sin2\theta)\,r^{2}=a^{2}r^{2}\sin2\theta \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{a^{2}\sin2\theta}{1+\sin2\theta},
desde que r\neq0.

Passo 3

Para que r^{2}\ge0 precisamos de \sin2\theta\ge0. Isso ocorre em 2\theta\in[0,\pi], ou seja \theta\in[0,\tfrac\pi2]. O laço é percorrido para \theta variando de 0 a \tfrac\pi2.

Passo 4

A área do laço é
A=\frac12\int_{0}^{\pi/2}r^{2}\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\frac{a^{2}\sin2\theta}{1+\sin2\theta}\,d\theta =\frac{a^{2}}{2}\,I
com
I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin2\theta}{1+\sin2\theta}\,d\theta.
Fazemos a mudança u=2\theta, então du=2\,d\theta e os limites vão de u=0 a u=\pi. Logo
I=\frac12\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{1+\sin u}\,du.

Passo 5

Calculemos
J=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{1+\sin u}\,du.
Escrevemos
\frac{\sin u}{1+\sin u} =\frac{(1+\sin u)-1}{1+\sin u} =1-\frac1{1+\sin u},
logo
J=\int_{0}^{\pi}\!1\,du\;-\;\int_{0}^{\pi}\frac{1}{1+\sin u}\,du =\pi -K.
Para
K=\int_{0}^{\pi}\frac{du}{1+\sin u}
usamos t=\tan\frac u2, de modo que \sin u=\tfrac{2t}{1+t^{2}} e du=\tfrac{2\,dt}{1+t^{2}}. Os limites vão de t=0 a t\to\infty. Então
K=\int_{0}^{\infty} \frac{2\,dt/(1+t^{2})}{1+\tfrac{2t}{1+t^{2}}} =2\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(t+1)^{2}} =2\bigl[-\tfrac1{t+1}\bigr]_{0}^{\infty} =2.
Assim J=\pi-2 e
I=\frac12\,J=\frac{\pi-2}{2}.

Passo 6

Voltando à área:
A=\frac{a^{2}}{2}\,I =\frac{a^{2}}{2}\,\frac{\pi-2}{2} =\frac{a^{2}}{4}\,(\pi-2).

Resposta

A=\frac{a^{2}}{4}\,\bigl(\pi-2\bigr).

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