Consideremos no espaço
os vetores
e
.
Escrever o vetor
como combinação linear de
e
.
Escrever o vetor
Passo 1
O enunciado dá os vetores (polinômios) abaixo em
:
e pede que escrevamos o vetor
como combinação linear de
e
.
Informações relevantes que temos: as expressões de ,
e
. A pergunta objetiva é: existem escalares reais
e
tais que
?
Informações relevantes que temos: as expressões de
Passo 2
Vamos traduzir a exigência matematicamente. Pedem para achar
tais que
Isto é a definição de combinação linear: multiplicar cada vetor por um escalar e somá-los. Aqui queremos explicar passo a passo como transformar essa igualdade de polinômios em um sistema de equações para os coeficientes.
Passo 3
Substituímos
e
pelas suas expressões:
Agora desenvolvemos o termo com
:
Passo 4
Para que dois polinômios sejam iguais para todo
, os coeficientes dos mesmos monômios devem ser iguais. Portanto, igualando
com
obtemos o sistema de igualdades entre coeficientes:
Passo 5
Resolvendo as duas primeiras equações obtemos diretamente:
Explico: o coeficiente de
do lado esquerdo é
e deve ser igual ao coeficiente de
do lado direito, que é
. O coeficiente de
do lado esquerdo é
e deve ser igual ao coeficiente de
do lado direito, que é
.
Passo 6
Agora verificamos a terceira equação com o valor encontrado para
. A terceira diz que
. Substituindo
temos
que não é igual a
. Portanto há contradição: as três equações não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo por um mesmo par
.
Passo 7
Interpretando geometricamente/algebraicamente: o subespaço gerado por
e
é o conjunto de polinômios da forma
isto é, polinômios cujo termo constante é sempre o dobro do coeficiente de
(constante
coeficiente de
). No polinômio
temos coeficiente de
igual a
e termo constante igual a
; como
, o polinômio
não pertence a esse subespaço gerado por
e
.
Resposta
Não existe
tais que
.