Consideremos no espaço P_{2}=\left\{a t^{2}+b t+c / a, b, c \in \mathbb{R}\right\} os vetores p_{1}=t^{2} p_{2}=t+2 e p_{3}=2 t^{2}-t.
Escrever o vetor p=5 t^{2}-5 t+7 como combinação linear de p_{1} e p_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores (polinômios) abaixo em P_{2}:
p_{1}=t^{2},\qquad p_{2}=t+2,\qquad p_{3}=2t^{2}-t
e pede que escrevamos o vetor
p=5t^{2}-5t+7
como combinação linear de p_{1} e p_{2}.
Informações relevantes que temos: as expressões de p_{1}, p_{2} e p. A pergunta objetiva é: existem escalares reais \alpha e \beta tais que \alpha p_{1}+\beta p_{2}=p?

Passo 2

Vamos traduzir a exigência matematicamente. Pedem para achar \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha p_{1}+\beta p_{2}=p.
Isto é a definição de combinação linear: multiplicar cada vetor por um escalar e somá-los. Aqui queremos explicar passo a passo como transformar essa igualdade de polinômios em um sistema de equações para os coeficientes.

Passo 3

Substituímos p_{1} e p_{2} pelas suas expressões:
\alpha p_{1}+\beta p_{2}=\alpha t^{2}+\beta(t+2).
Agora desenvolvemos o termo com \beta:
\alpha t^{2}+\beta(t+2)=\alpha t^{2}+\beta t+2\beta.

Passo 4

Para que dois polinômios sejam iguais para todo t, os coeficientes dos mesmos monômios devem ser iguais. Portanto, igualando \alpha t^{2}+\beta t+2\beta com 5t^{2}-5t+7 obtemos o sistema de igualdades entre coeficientes:
\alpha=5,
\beta=-5,
2\beta=7.

Passo 5

Resolvendo as duas primeiras equações obtemos diretamente:
\alpha=5,\qquad \beta=-5.
Explico: o coeficiente de t^{2} do lado esquerdo é \alpha e deve ser igual ao coeficiente de t^{2} do lado direito, que é 5. O coeficiente de t do lado esquerdo é \beta e deve ser igual ao coeficiente de t do lado direito, que é -5.

Passo 6

Agora verificamos a terceira equação com o valor encontrado para \beta. A terceira diz que 2\beta=7. Substituindo \beta=-5 temos
2\beta=2\cdot(-5)=-10,
que não é igual a 7. Portanto há contradição: as três equações não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo por um mesmo par (\alpha,\beta).

Passo 7

Interpretando geometricamente/algebraicamente: o subespaço gerado por p_{1} e p_{2} é o conjunto de polinômios da forma
\alpha t^{2}+\beta t+2\beta,
isto é, polinômios cujo termo constante é sempre o dobro do coeficiente de t (constante =2\cdot coeficiente de t). No polinômio p temos coeficiente de t igual a -5 e termo constante igual a 7; como 2\cdot(-5)=-10\neq7, o polinômio p não pertence a esse subespaço gerado por p_{1} e p_{2}.

Resposta

Não existe \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que \alpha p_{1}+\beta p_{2}=p.

Exercícios relacionados