Distância entre duas retas.
Como podemos verificar se duas retas são paralelas no plano?

Passo 1

Você perguntou duas coisas: (1) como verificar se duas retas no plano são paralelas; (2) como calcular a distância entre duas retas.
Informações que normalmente você tem em um enunciado e que usaremos: as retas podem ser dadas em formas diferentes, por exemplo: forma geral ax+by+c=0, forma explícita y=mx+q (quando não são verticais) ou forma paramétrica/ vetorial. Vou listar essas possibilidades porque cada uma tem um teste prático ligeiramente diferente.

Passo 2

Teste prático 1 — comparar vetores diretores (forma paramétrica/vetorial).
Se a primeira reta tem vetor diretor \vec{v}_1 e a segunda tem vetor diretor \vec{v}_2, então as retas são paralelas se e somente se \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são proporcionais, isto é, existe k\neq 0 tal que
\vec{v}_1 = k\,\vec{v}_2.
Explicando devagar: um vetor diretor mostra a direção da reta. Se um vetor é múltiplo escalar do outro, as direções coincidem (ou são opostas) e, portanto, as retas têm a mesma orientação — são paralelas.

Passo 3

Teste prático 2 — forma explícita y=mx+q.
Se ambas as retas podem ser escritas como y=m_1x+q_1 e y=m_2x+q_2, então elas são paralelas se e somente se
m_1 = m_2.
Obs.: isso não funciona para retas verticais (que não têm coeficiente angular). Para retas verticais, ambas são paralelas se forem ambas do tipo x = \text{constante}.

Passo 4

Teste prático 3 — forma geral ax+by+c=0.
Se as retas são
a_1x+b_1y+c_1=0\quad\text{e}\quad a_2x+b_2y+c_2=0,
elas são paralelas se e somente se os vetores normais (a_1,b_1) e (a_2,b_2) são proporcionais, isto é, existe k\neq 0 tal que
(a_1,b_1)=k\,(a_2,b_2).
Em forma algébrica isso significa
\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}
(tomando cuidado com divisões por zero; se a_2=0 use a comparação por b).
Importante: se além de (a_1,b_1) ser proporcional a (a_2,b_2) também tiver \frac{c_1}{c_2}=\frac{a_1}{a_2}, então as retas são coincidentes (a mesma reta). Se os primeiros dois coeficientes são proporcionais, mas c não segue a mesma proporção, as retas são paralelas distintas.

Passo 5

Distância entre retas — ideia geral e fórmula do ponto à reta.
Primeiro, observe que se as retas não são paralelas, elas se intersectam em algum ponto e a distância entre elas é 0. Então a distância só é positiva quando as retas são paralelas distintas. Para calcular essa distância usamos a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) para uma reta ax+by+c=0:
\text{dist}\big((x_0,y_0),\,ax+by+c=0\big)=\frac{\big|a x_0+b y_0+c\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Explicação dessa fórmula (resumida): ax+by+c mede (proporcionalmente) quanto o ponto “sai” da reta; dividir por \sqrt{a^2+b^2} normaliza pelo comprimento do vetor normal (a,b), obtendo então a distância perpendicular.

Passo 6

Fórmula prática para distância entre duas retas paralelas em forma geral e derivação curta.
Se as retas são paralelas, podemos escrever (após escalar uma delas se necessário) as duas com os mesmos a e b:
a x + b y + c_1 = 0\quad\text{e}\quad a x + b y + c_2 = 0.
Pegue qualquer ponto (x_0,y_0) que satisfaça a primeira reta (ou qualquer ponto da primeira reta). A distância da primeira reta até a segunda é a distância desse ponto até a segunda reta, então aplicamos a fórmula do passo anterior:
\text{dist}=\frac{\big|a x_0 + b y_0 + c_2\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Como (x_0,y_0) satisfaz a x_0+b y_0 + c_1=0, temos a x_0+b y_0 = -c_1. Substituindo:
\text{dist}=\frac{\big|-c_1 + c_2\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\big|c_2-c_1\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Portanto, procedimento prático: se as retas são paralelas, primeiro escale-as (se preciso) para que os coeficientes a e b coincidam; então a distância é
\boxed{\text{dist}=\dfrac{\big|c_2-c_1\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}.}

Passo 7

Algoritmo passo a passo para aplicar na prova (rápido e seguro)
  1. Escreva as retas em forma geral a_1x+b_1y+c_1=0 e a_2x+b_2y+c_2=0.
  2. Verifique paralelismo comparando (a_1,b_1) e (a_2,b_2): se são proporcionais, são paralelas; caso contrário, não são e a distância é 0.
  3. Se forem paralelas e quiser a distância entre elas, escale uma equação para que a_1=a_2 e b_1=b_2 (isto é, divida tudo por um escalar comum) e aplique
\text{dist}=\frac{\big|c_2-c_1\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Dica: você também pode aplicar diretamente a fórmula de distância ponto–reta usando um ponto conhecido de uma das retas sem escalar; dá o mesmo resultado.

Passo 8

Exemplo rápido (para fixar):
Considere as retas
2x+3y-5=0\quad\text{e}\quad 4x+6y+1=0.
Verificação de paralelismo: (4,6)=2\cdot(2,3), então são paralelas. Escalo a segunda por 1/2 para igualar os a,b:
2x+3y+\tfrac{1}{2}=0.
Agora aplico a fórmula:
\text{dist}=\frac{\big|\tfrac{1}{2}-(-5)\big|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{\big|\tfrac{11}{2}\big|}{\sqrt{13}}=\frac{11}{2\sqrt{13}}.
Isso é a distância exata entre as duas retas.

Resposta

Duas retas são paralelas se e somente se os seus vetores diretores são proporcionais (ou, na forma geral a_1x+b_1y+c_1=0 e a_2x+b_2y+c_2=0, se (a_1,b_1) é proporcional a (a_2,b_2)).\nA distância entre duas retas paralelas a x+b y+c_1=0 e a x+b y+c_2=0 é \displaystyle \frac{\big|c_2-c_1\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}. Se as retas não são paralelas, a distância é 0.

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