Consideremos um espaço vetorial
e um operador linear
, com as propriedades dadas abaixo.
e
.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Determine as possíveis formas de Jordan.
Passo 1
O enunciado pede todas as formas de Jordan possíveis para um operador linear
em
sabendo que
Conteúdo: teoria da forma canônica de Jordan. Vamos usar que, para cada valor próprio
, os tamanhos dos blocos de Jordan formam uma partição da multiplicidade algébrica de
, e que o expoente de
em
é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a
.
Passo 2
Identificamos os valores próprios e suas multiplicidades algébricas:
– com multiplicidade algébrica
.
– com multiplicidade algébrica
.
–
–
Passo 3
O fator
em
indica que, para
, o maior bloco de Jordan tem ordem
. Assim, precisamos particionar
em inteiros cuja soma seja
e tal que o maior parcela seja
. As partições possíveis são
Passo 4
O fator
em
mostra que, para
, todos os blocos têm ordem
. A única partição de
com maior parte igual a
é
Logo, em cada forma de Jordan devemos ter dois blocos
para o valor próprio
.
Passo 5
Juntando os blocos de
e de
, as duas formas de Jordan possíveis são:
- Um bloco de ordem
e um de ordem para , mais dois blocos de ordem para . - Um bloco de ordem
e dois blocos de ordem para , mais dois blocos de ordem para .
Resposta
As formas de Jordan (até ordem de blocos) são