Consideremos um espaço vetorial V e um operador linear T: V V, com as propriedades dadas abaixo.
pT(x)=(x+3)^5(x-1)^2 e mT(x)=(x+3)^3(x-1).
Determine as possíveis formas de Jordan.

Passo 1

O enunciado pede todas as formas de Jordan possíveis para um operador linear T em V sabendo que
pT(x)=(x+3)^5(x-1)^2,
mT(x)=(x+3)^3(x-1)
Conteúdo: teoria da forma canônica de Jordan. Vamos usar que, para cada valor próprio lambda, os tamanhos dos blocos de Jordan formam uma partição da multiplicidade algébrica de lambda, e que o expoente de (x-lambda) em mT(x) é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a lambda.

Passo 2

Identificamos os valores próprios e suas multiplicidades algébricas:
lambda=-3 com multiplicidade algébrica 5.
lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

O fator (x+3)^3 em mT(x) indica que, para lambda=-3, o maior bloco de Jordan tem ordem 3. Assim, precisamos particionar 5 em inteiros cuja soma seja 5 e tal que o maior parcela seja 3. As partições possíveis são
5 = 3 + 2 e 5 = 3 + 1 + 1

Passo 4

O fator (x-1)^1 em mT(x) mostra que, para lambda=1, todos os blocos têm ordem 1. A única partição de 2 com maior parte igual a 1 é
2 = 1 + 1
Logo, em cada forma de Jordan devemos ter dois blocos 1times1 para o valor próprio 1.

Passo 5

Juntando os blocos de -3 e de 1, as duas formas de Jordan possíveis são:
  1. Um bloco de ordem 3 e um de ordem 2 para lambda=-3, mais dois blocos de ordem 1 para lambda=1.
  2. Um bloco de ordem 3 e dois blocos de ordem 1 para lambda=-3, mais dois blocos de ordem 1 para lambda=1.

Resposta

As formas de Jordan (até ordem de blocos) são
J3(-3)oplus J2(-3)oplus J1(1)oplus J1(1) e J3(-3)oplus J1(-3)oplus J1(-3)oplus J1(1)oplus J1(1)

Exercícios relacionados