Sejam um espaço vetorial e um operador em . Dizemos que um subespaço é invariante por se para todo .
Determine todos os subespaços invariantes por dado abaixo: .
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os subespaços de que são invariantes pelo operador linear
O conteúdo envolvido é o de subespaços invariantes e autovalores/autovetores de matrizes em .
Passo 2
Escrevemos na base canônica como matriz
isto é, T(v)=Av para todo vinR^2.
Passo 3
Lembramos que qualquer subespaço unidimensional W=spanv será invariante se e somente se v for autovetor de A. Logo precisamos dos autovalores reais de A.
portanto não há autovalores reais e, consequentemente, não há autovetores reais.
Passo 5
Não existindo autovetores reais, não há nenhum subespaço próprio de dimensão 1 que seja invariante. Por outro lado, sabemos sempre que 0 e R^2 são invariantes por qualquer operador linear.