Sejam V um espaço vetorial e T: V V um operador em V. Dizemos que um subespaço W subset V é invariante por T se T(v) in W para todo v in W.
Determine todos os subespaços invariantes por T: R^2 R^2 dado abaixo:
T(x, y)=(3 x-5 y, x+3 y).

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os subespaços de R^2 que são invariantes pelo operador linear
T(x,y) = (3x - 5y,; x + 3y)
O conteúdo envolvido é o de subespaços invariantes e autovalores/autovetores de matrizes em R^2.

Passo 2

Escrevemos T na base canônica como matriz
A = 3 & -5 1 & 3,
isto é, T(v)=Av para todo vinR^2.

Passo 3

Lembramos que qualquer subespaço unidimensional W=spanv será invariante se e somente se v for autovetor de A. Logo precisamos dos autovalores reais de A.

Passo 4

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det3-lambda & -5 1 & 3-lambda =(3-lambda)^2 +5 =lambda^2 -6lambda +14
O discriminante é
De<a = (-6)^2 -4cdot1cdot14 =36-56 = -20 < 0,
portanto não há autovalores reais e, consequentemente, não há autovetores reais.

Passo 5

Não existindo autovetores reais, não há nenhum subespaço próprio de dimensão 1 que seja invariante. Por outro lado, sabemos sempre que 0 e R^2 são invariantes por qualquer operador linear.

Resposta

Os únicos subespaços invariantes são 0 e R^2.

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