Seja T: V V um operador linear. Calcule a dimensão de V e os possíveis polinômios minimais de T.
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:Vto V cujo polinômio característico é
pT(x)=(x+2)^4(x-1)^2
Precisamos encontrar dim V e todos os possíveis polinômios minimais de T. Para isso vamos usar que
  1. o grau de pT é igual a dim V,
  2. o polinômio minimal mT(x) divide pT(x) e tem exatamente os mesmos fatores lineares, com expoentes entre 1 e os respectivos expoentes em pT.

Passo 2

Como deg pT(x)=4+2=6, concluímos que
dim V =6

Passo 3

O polinômio minimal mT(x) deve ser da forma
mT(x)=(x+2)^a(x-1)^b,
onde os expoentes satisfazem
1<= a<=4, 1<= b<=2,
pois cada fator aparece pelo menos uma vez (essa raiz é valor próprio) e no máximo com o mesmo multiplicador de pT.

Passo 4

Logo, os possíveis polinômios minimais são exatamente
l(x+2)^a(x-1)^b;m|;ain1,2,3,4, bin1,2r

Resposta

dim V=6
Os possíveis polinômios minimais de T são
mT(x)=(x+2)^a(x-1)^b, 1<= a<=4,;;1<= b<=2

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