Sejam V um espaço vetorial e T: V V um operador em V. Dizemos que um subespaço W subset V é invariante por T se T(v) in W para todo v in W.
Determine todos os subespaços invariantes por T: R^2 R^2 dado abaixo:
T(x, y)=(x+2 y, 2 x-2 y).

Passo 1

O enunciado pede todos os subespaços WsubsetR^2 tais que T(W)subset W, onde
T(x,y)=(x+2y,;2x-2y)
O conteúdo principal é achar todos os subespaços invariantes de uma aplicação linear em R^2. Para isso vamos calcular os autovalores e autovetores de T (que diagonaliza a transformação) e usar o fato de que em dimensão 2 toda reta invariante deve ser gerada por um autovetor.

Passo 2

Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
A = 1 & 2 [6pt] 2 & -2
O traço é tr(A)=1+(-2)=-1 e o determinante é det(A)=1cdot(-2)-2cdot2=-6. Sua equação característica é
lambda^2 - (trA),lambda + det(A)=0 Longrightarrow lambda^2 + lambda -6=0
Resolvendo,
lambda = -1pmraiz1+242 =-1pm52,
logo os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-3.]

Passo 3

Para resolvemos :
Um autovetor correspondente é .
Para resolvemos :
Um autovetor correspondente é .]

Passo 4

Como A tem dois autovalores reais distintos, é diagonalizável e todo subespaço de dimensão 1 invariante deve ser a reta gerada por um autovetor. Além disso, 0 e R^2 são sempre invariantes. Assim, não há outras retas invariantes além das geradas por v1 e por v2.

Resposta

0,
R^2,
span(2,1) e
span(1,-2).

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