Sejam
um espaço vetorial e
um operador em
. Dizemos que um subespaço
é invariante por
se
para todo
.
Determine todos os subespaços invariantes por
dado abaixo:
.
Determine todos os subespaços invariantes por
Passo 1
O enunciado pede todos os subespaços
tais que
, onde
O conteúdo principal é achar todos os subespaços invariantes de uma aplicação linear em
. Para isso vamos calcular os autovalores e autovetores de
(que diagonaliza a transformação) e usar o fato de que em dimensão
toda reta invariante deve ser gerada por um autovetor.
Passo 2
Em coordenadas canônicas, a matriz de
é
O traço é
e o determinante é
. Sua equação característica é
Resolvendo,
logo os autovalores são
e
.]
Passo 3
Para
resolvemos
:
Um autovetor correspondente é
.
Para resolvemos
:
Para
Um autovetor correspondente é
.]
Passo 4
Como
tem dois autovalores reais distintos, é diagonalizável e todo subespaço de dimensão
invariante deve ser a reta gerada por um autovetor. Além disso,
e
são sempre invariantes. Assim, não há outras retas invariantes além das geradas por
e por
.