Consideremos o Espaço Vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 definidos como P2= a t^2+b t+c, em que a, b, c in R. Dados os vetores p(t)=t^2-2 t+1, q(t)=t+2 e h(t)=2 t^2-t, pertencentes a P2 :
Escrever, se possível, o vetor m(t)=5 t^2-5 t+7 como combinação linear de p(t) e q(t).

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau <=2 e dá os vetores
p(t)=t^2-2t+1, q(t)=t+2, m(t)=5t^2-5t+7
A tarefa é verificar se existe combinação linear
m(t)=lambda,p(t)+mu,q(t)
e, em caso afirmativo, determinar lambda e mu. Vamos usar o fato de que dois polinômios são iguais se e somente se coincidirem todos os coeficientes.

Passo 2

Assumimos
5t^2-5t+7 =lambda,(t^2-2t+1)+mu,(t+2)
Desenvolvendo o lado direito, temos
lambda,t^2-2lambda,t+lambda + mu,t+2mu = lambda,t^2+(-2lambda+mu),t+(lambda+2mu)

Passo 3

Agora igualamos coeficientes de
Da primeira equação vem (\lambda=5]. Substituindo na segunda,

Verificando na terceira,

logo há contradição.

Passo 4

Como o sistema de equações não tem solução, não é possível representar m(t) como combinação linear de p(t) e q(t). Isso significa que m(t) não pertence ao subespaço gerado por p e q.

Resposta

Não é possível escrever m(t) como combinação linear de p(t) e q(t).

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