Quando necessário, considere a observação (*) e verifique se os seguintes vetores são paralelos:
u=3 imath-jmath+2 k, v=(-9,3,-6) e w=32 imath-12 jmath+12 k
(*) OBSERVAÇÃO: Um vetor
u=(x, y, z) também pode ser denotado por v=
x imath+y jmath+z k, onde imath=(1,0,0), jmath=(0,1,0) e k=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=3imath-jmath+2k,
v=(-9,3,-6) e
w=tfrac32imath-tfrac12jmath+tfrac12k
são paralelos entre si. O conteúdo principal é a definição de vetores paralelos em R^3: dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Primeiro, escrevemos todos no mesmo formato de componentes:
u=(3,,-1,,2), v=(-9,,3,,-6), w=l(tfrac32,,-tfrac12,,tfrac12r)
Dois vetores a e b são paralelos se existir escalar k tal que b=k,a.

Passo 3

Checamos u e v. Procuramos k tal que
(-9,,3,,-6)=k,(3,,-1,,2)
Pelas coordenadas:
3k=-9implies k=-3,
-1cdot k=3implies k=-3,
2k=-6implies k=-3.
Como dá o mesmo k=-3 em todas as três, concluímos
v=-3,u, logo uparal<=lv.

Passo 4

Agora u e w. Suponha
l(tfrac32,,-tfrac12,,tfrac12r)=k,(3,,-1,,2)
Das duas primeiras coordenadas obtemos k=tfrac12. Mas pela terceira teríamos 2k=tfrac12implies k=tfrac14. Há contradição ( tfrac12neqtfrac14), então não existe escalar fixo e unotparal<=lw.

Passo 5

Por fim v e w. Se existisse m tal que
l(tfrac32,,-tfrac12,,tfrac12r)=m,(-9,,3,,-6),
pela primeira coordenada teríamos m=-tfrac16, pela segunda m=-tfrac16, mas pela terceira daria m=-tfrac112. De novo não bate, então vnotparal<=lw.

Resposta

A única dupla de vetores paralelos é u e v. As demais não são paralelas.

Exercícios relacionados