( 2,5 pontos) Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse de equação
(x)^29+(y-2)^216=1
Obtenha a equação da hipérbole e a equação reduzida das assíntontas, considerando a excentricidade da hipérbole igual a 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
x^29+(y-2)^216=1
e pede a hipérbole de mesma posição de focos e excentricidade 2. Vamos usar que para elipse c^2=a^2-b^2 e para hipérbole c^2=a'^2+b'^2 com e=c/a.

Passo 2

Para a elipse o maior denom­inador é 16, logo a^2=16 e b^2=9. O centro é (0,2). Então
c^2=a^2-b^2=16-9=7, c=raiz7,
e os focos são l(0,,2pmraiz7r).

Passo 3

Na hipérbole queremos os mesmos focos, logo c'=raiz7. Como a excentricidade é e=2, vale
e=c'a'=2Longrightarrow a'=c'2=raiz72
E de c'^2=a'^2+b'^2 segue
b'^2=c'^2-a'^2 =7-74 =214

Passo 4

Como os focos estão na direção vertical, a forma reduzida da hipérbole é
(y-2)^2a'^2-x^2b'^2=1
ou seja
(y-2)^2tfrac74-x^2tfrac214=1

Passo 5

As assíntotas desta hipérbole, cujo eixo transverso é vertical, são
y-2=pma'b',x =pmtfracraiz72tfracraiz212,x =pm1raiz3,x
ou seja
y=2pmxraiz3

Resposta

Equação da hipérbole:
(y-2)^2tfrac74-x^2tfrac214=1
Assíntotas:
y=2+xraiz3, y=2-xraiz3

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