Determine o subespaço vetorial de M_{2 \times 2} gerado pelos vetores v_{1}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) e v_{2}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado pelos vetores
v_{1}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}, \quad v_{2}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é subespaços e combinação linear: vou escrever um elemento genérico como combinação linear de v_{1} e v_{2}.]

Passo 2

Seja A um vetor qualquer no subespaço gerado por v_{1} e v_{2}. Então existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
A = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Vamos calcular explicitamente A.

Passo 3

Substituindo v_{1} e v_{2} em A obtemos
A = a \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,a + 2\,b & 2\,a + b \\[4pt] a - b & -\,b \end{pmatrix}.]

Passo 4

Logo, o subespaço gerado é
\bigl\{\,\begin{pmatrix} -\,a + 2\,b & 2\,a + b \\[4pt] a - b & -\,b \end{pmatrix} \;\big|\;a,b\in\mathbb{R}\bigr\}.
Isso mostra que a dimensão é 2 e que \{v_{1},v_{2}\} é uma base desse subespaço.]

Resposta

O subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado por v_{1} e v_{2} é
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} = \bigl\{\, \begin{pmatrix} -\,a + 2\,b & 2\,a + b \\[4pt] a - b & -\,b \end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R} \bigr\}.]

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