Sejam os dados abaixo relativos aos totais de tratamento de um experimento realizado com a finalidade de testar 4 resistências de concretos diferentes.
Concreto: N \circ de rep Total (MPa)
Comum 5 16,20
Rejeito de mármore 4 18,00
Rejeito de Granito 4 20,40
Metacaulinita 5 30,00
Admitindo o contrate Y=2 m_{1}+3 m_{2}+2 m_{3}-7 m_{4}, e as variâncias:
\sigma^{2}{ }_{1}=10 ; \sigma^{2}{ }_{2}=12 ; \sigma^{2}{ }_{3}=11 ; \sigma^{2}{ }_{4}=10 ;
\sigma^{2}{ }_{1}=10 ; \sigma^{2}{ }_{2}=8 ; \sigma^{2}{ }_{3}=5 ; \sigma^{2}{ }_{4}=5 ;
Pode-se:
a) Obter a estimativa do contraste Y
b) \mathrm{V}(\mathrm{Y})
c) V(Ÿ)
d) V(\ddot{Y})

Passo 1

O enunciado fornece os totais e os tamanhos de cada tratamento (peguei estes números da tabela) e pede o contraste e suas variâncias. Os dados são:
  • Concreto “Comum”: n_1=5, total T_1=16,20 (MPa).
  • Rejeito de mármore: n_2=4, total T_2=18,00 (MPa).
  • Rejeito de granito: n_3=4, total T_3=20,40 (MPa).
  • Metacaulinita: n_4=5, total T_4=30,00 (MPa).
O contraste admitido é
Y=2m_{1}+3m_{2}+2m_{3}-7m_{4},
onde m_i representa a média verdadeira do i-ésimo tratamento. As variâncias fornecidas aparecem em duas linhas no enunciado; para resolver precisa-se interpretar isso. Vou adotar a interpretação natural e que faz sentido para cálculo:
  • Primeira linha: variâncias populacionais conhecidas \sigma_1^{2}=10, \sigma_2^{2}=12, \sigma_3^{2}=11, \sigma_4^{2}=10 (todas em \text{(MPa)}^2).
  • Segunda linha: variâncias amostrais observadas s_1^{2}=10, s_2^{2}=8, s_3^{2}=5, s_4^{2}=5 (em \text{(MPa)}^2).
O que o exercício pede:
a) obter a estimativa do contraste Y (isto é, calcular \hat{Y} usando as médias amostrais);
b) calcular \mathrm{V}(Y) (variância do contraste quando se usa as variâncias populacionais \sigma_i^2);
c) calcular \mathrm{V}(\hat{Y}) usando as variâncias amostrais s_i^2 (substituindo \sigma_i^2 por s_i^2);
d) calcular \mathrm{V}(\ddot{Y}) usando a variância agrupada (pool) s_p^2 assumindo variância comum entre tratamentos.

Passo 2

Calcular as médias amostrais \bar{y}_i = T_i/n_i (estas serão usadas para estimar m_i):
  • \bar{y}_1 = \dfrac{16,20}{5} = 3,24 (MPa).
  • \bar{y}_2 = \dfrac{18,00}{4} = 4,50 (MPa).
  • \bar{y}_3 = \dfrac{20,40}{4} = 5,10 (MPa).
  • \bar{y}_4 = \dfrac{30,00}{5} = 6,00 (MPa).
Explicando rapidamente: dividir o total pelo número de repetições dá a média amostral; fazer estas divisões é operação simples de aritmética (feita acima passo a passo).

Passo 3

Estimar o contraste: a estimativa natural é substituir m_i por \bar{y}_i. Logo
\hat{Y}=2\bar{y}_1+3\bar{y}_2+2\bar{y}_3-7\bar{y}_4.
Agora substituindo os valores calculados:
\hat{Y}=2\cdot 3,24 + 3\cdot 4,50 + 2\cdot 5,10 -7\cdot 6,00.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 3,24 = 6,48, \qquad 3\cdot 4,50 = 13,50, \qquad 2\cdot 5,10 = 10,20, \qquad 7\cdot 6,00 = 42,00.
Somando e subtraindo:
\hat{Y}=6,48+13,50+10,20-42,00 = -11,82\\ \text{(MPa)}.

Passo 4

Fórmula para a variância do contraste estimado quando as amostras são independentes:
  • A variância de uma média amostral \bar{Y}_i é \mathrm{Var}(\bar{Y}_i)=\dfrac{\sigma_i^{2}}{n_i}.
  • Como \hat{Y}=\sum c_i\bar{Y}_i com constantes c_1=2,c_2=3,c_3=2,c_4=-7 e as amostras independentes,
\mathrm{Var}(\hat{Y})=\sum_{i=1}^4 c_i^{2}\,\frac{\sigma_i^{2}}{n_i}.
Esta é a fórmula básica: variância de combinação linear de médias independentes.
Usando as variâncias populacionais \sigma_i^{2} (primeira linha) obtemos \mathrm{V}(Y) (isto é, a variância do contraste verdadeiro quando se conhece \sigma_i^2).
Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} c_1^{2}\frac{\sigma_1^{2}}{n_1} &= 2^{2}\cdot\frac{10}{5} = 4\cdot 2 = 8,\\[4pt] c_2^{2}\frac{\sigma_2^{2}}{n_2} &= 3^{2}\cdot\frac{12}{4} = 9\cdot 3 = 27,\\[4pt] c_3^{2}\frac{\sigma_3^{2}}{n_3} &= 2^{2}\cdot\frac{11}{4} = 4\cdot \dfrac{11}{4} = 11,\\[4pt] c_4^{2}\frac{\sigma_4^{2}}{n_4} &= (-7)^{2}\cdot\frac{10}{5} = 49\cdot 2 = 98. \end{aligned}
Somando:
\mathrm{V}(Y)=8+27+11+98=144\\ \text{(MPa)}^{2}.]

Passo 5

Agora calcular \mathrm{V}(\hat{Y}) substituindo as variâncias populacionais por variâncias amostrais observadas s_i^2 (segunda linha). A fórmula é análoga:
\mathrm{V}(\hat{Y})\text{ (com }s_i^2)=\sum_{i=1}^4 c_i^{2}\,\frac{s_i^{2}}{n_i}.
Calculemos termo a termo com s_1^{2}=10,\\ s_2^{2}=8,\\ s_3^{2}=5,\\ s_4^{2}=5:
\begin{aligned} 4\cdot\frac{10}{5} &= 8,\\[4pt] 9\cdot\frac{8}{4} &= 18,\\[4pt] 4\cdot\frac{5}{4} &= 5,\\[4pt] 49\cdot\frac{5}{5} &= 49. \end{aligned}
Somando:
\mathrm{V}(\hat{Y})=8+18+5+49=80\\ \text{(MPa)}^{2}.
Explicação didática: substituir \sigma_i^2 por s_i^2 dá uma estimativa plug-in para a variância do estimador, útil quando as variâncias populacionais são desconhecidas.]

Passo 6

Calcular \mathrm{V}(\ddot{Y}) usando a variância agrupada (pool) s_p^2, assumindo variância comum entre tratamentos. Passos:
  1. Calcular s_p^2 pela fórmula do pooled variance:
s_p^{2}=\frac{\sum_{i=1}^4 (n_i-1)s_i^{2}}{\sum_{i=1}^4 (n_i-1)}.
Substituindo s_i^2 e n_i:
\begin{aligned} \sum (n_i-1)s_i^{2} &= 4\cdot 10 + 3\cdot 8 + 3\cdot 5 + 4\cdot 5 = 40+24+15+20=99,\\\ \sum (n_i-1) &= 4+3+3+4 = 14. \end{aligned}
Logo
s_p^{2}=\frac{99}{14}\approx 7,0714\\ \text{(MPa)}^{2}.
  1. Com a variância comum estimada s_p^{2}, a variância do contraste (usando pooling) é
\mathrm{V}(\ddot{Y})=s_p^{2}\sum_{i=1}^4 \frac{c_i^{2}}{n_i}.
Calculemos \sum c_i^{2}/n_i:
\frac{4}{5}+\frac{9}{4}+\frac{4}{4}+\frac{49}{5}=0,8+2,25+1+9,8=13,85.
Finalmente,
\mathrm{V}(\ddot{Y})=7,0714\cdot 13,85\approx 97,94\\ \text{(MPa)}^{2}.

Resposta

a) \hat{Y}=-11,82\\ \text{MPa}
b) \mathrm{V}(Y)=144\\ \text{(MPa)}^{2}
c) \mathrm{V}(\hat{Y})=80\\ \text{(MPa)}^{2}
d) \mathrm{V}(\ddot{Y})\approx 97,94\\ \text{(MPa)}^{2}

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