Sejam os dados abaixo relativos aos totais de tratamento de um experimento realizado com a finalidade de testar 4 resistências de concretos diferentes.
Concreto:
N
de rep
Total (MPa)
Comum
5
16,20
Rejeito de mármore
4
18,00
Rejeito de Granito
4
20,40
Metacaulinita
5
30,00
Admitindo o contrate
, e as variâncias:
Pode-se:
a) Obter a estimativa do contraste Y
b)
c) V(Ÿ)
d)
| Concreto: | N
|
Total (MPa) |
| Comum | 5 | 16,20 |
| Rejeito de mármore | 4 | 18,00 |
| Rejeito de Granito | 4 | 20,40 |
| Metacaulinita | 5 | 30,00 |
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a) Obter a estimativa do contraste Y
b)
c) V(Ÿ)
d)
Passo 1
O enunciado fornece os totais e os tamanhos de cada tratamento (peguei estes números da tabela) e pede o contraste e suas variâncias. Os dados são:
- Concreto “Comum”:
, total (MPa). - Rejeito de mármore:
, total (MPa). - Rejeito de granito:
, total (MPa). - Metacaulinita:
, total (MPa).
O contraste admitido é
onde
representa a média verdadeira do
-ésimo tratamento. As variâncias fornecidas aparecem em duas linhas no enunciado; para resolver precisa-se interpretar isso. Vou adotar a interpretação natural e que faz sentido para cálculo:
- Primeira linha: variâncias populacionais conhecidas
, , , (todas em ). - Segunda linha: variâncias amostrais observadas
, , , (em ).
O que o exercício pede:
a) obter a estimativa do contraste (isto é, calcular
usando as médias amostrais);
b) calcular (variância do contraste quando se usa as variâncias populacionais
);
c) calcular usando as variâncias amostrais
(substituindo
por
);
d) calcular usando a variância agrupada (pool)
assumindo variância comum entre tratamentos.
a) obter a estimativa do contraste
b) calcular
c) calcular
d) calcular
Passo 2
Calcular as médias amostrais
(estas serão usadas para estimar
):
-
(MPa). -
(MPa). -
(MPa). -
(MPa).
Explicando rapidamente: dividir o total pelo número de repetições dá a média amostral; fazer estas divisões é operação simples de aritmética (feita acima passo a passo).
Passo 3
Estimar o contraste: a estimativa natural é substituir
por
. Logo
Agora substituindo os valores calculados:
Calculemos passo a passo:
Somando e subtraindo:
Passo 4
Fórmula para a variância do contraste estimado quando as amostras são independentes:
- A variância de uma média amostral
é . - Como
com constantes e as amostras independentes,
Esta é a fórmula básica: variância de combinação linear de médias independentes.
Usando as variâncias populacionais
(primeira linha) obtemos
(isto é, a variância do contraste verdadeiro quando se conhece
).
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 5
Agora calcular
substituindo as variâncias populacionais por variâncias amostrais observadas
(segunda linha). A fórmula é análoga:
Calculemos termo a termo com
:
Somando:
Explicação didática: substituir
por
dá uma estimativa plug-in para a variância do estimador, útil quando as variâncias populacionais são desconhecidas.]
Passo 6
Calcular
usando a variância agrupada (pool)
, assumindo variância comum entre tratamentos. Passos:
- Calcular
pela fórmula do pooled variance:
Substituindo
e
:
Logo
- Com a variância comum estimada
, a variância do contraste (usando pooling) é
Calculemos
:
Finalmente,
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)