Consideremos o experimento de lançar um dado equilibrado.
  • Se o dado mostra 1 ou 6 , um número é selecionado do conjunto 0,5,6;
  • Se o dado mostra 2 ou 5 , um número é selecionado do conjunto 1,4,7;
  • Se o dado mostrar 3 ou 4 , um número é selecionado do conjunto 2,3.
    Definindo as Variáveis Aleatórias Discretas
    X : número selecionado.
Y=ll -1, & se X é primo e impar raizX, & se X tem raiz quadrada inteira X2, & Caso Contrário éá
Determine RY e a função de probabilidade fY

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar um dado equilibrado e, dependendo do número que sair, escolheremos um número de um conjunto específico. A gente precisa definir as variáveis aleatórias discretas $ X $ e $ Y $ com base nessas escolhas e, por fim, determinar o conjunto dos possíveis valores de $ Y $ (que chamamos de $ R_Y $) e a função de probabilidade de $ Y $ (denotada por $ f_Y $). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade básica e variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possibilidades de resultados do dado e os conjuntos de onde vamos escolher os números:
  • Se sair 1 ou 6, escolhemos de 0,5,6.
  • Se sair 2 ou 5, escolhemos de 1,4,7.
  • Se sair 3 ou 4, escolhemos de 2,3.
Como o dado é equilibrado, cada face tem a mesma probabilidade de $ \frac{1}{6} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir e calcular a probabilidade de cada um:
  1. Sair 1 ou 6 ($ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ de chance):
    • Números possíveis: 0, 5, 6.
    • Cada número tem probabilidade $ \frac{1}{3} $ dentro desse conjunto.
    • Então, $ P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $.
    • $ P(X=5) = \frac{1}{9} $.
    • $ P(X=6) = \frac{1}{9} $.
  2. Sair 2 ou 5 ($ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ de chance):
    • Números possíveis: 1, 4, 7.
    • Cada número tem probabilidade $ \frac{1}{3} $ dentro desse conjunto.
    • Então, $ P(X=1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $.
    • $ P(X=4) = \frac{1}{9} $.
    • $ P(X=7) = \frac{1}{9} $.
  3. Sair 3 ou 4 ($ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ de chance):
    • Números possíveis: 2, 3.
    • Cada número tem probabilidade $ \frac{1}{2} $ dentro desse conjunto.
    • Então, $ P(X=2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $.
    • $ P(X=3) = \frac{1}{6} $.

Passo 4

Agora que temos as probabilidades de cada $ X $, vamos definir $ Y $ com base nas regras dadas:
X éíá
Vamos analisar cada valor de $ X $:
  • $ X = 0 $:
    • Não é primo.
    • $ \sqrt{0} = 0 $ (inteira).
    • Então, $ Y = 0 $.
  • $ X = 1 $:
    • Não é primo.
    • $ \sqrt{1} = 1 $ (inteira).
    • Então, $ Y = 1 $.
  • $ X = 2 $:
    • É primo e par.
    • Não atende a primeira condição.
    • $ \sqrt{2} $ não é inteiro.
    • Então, $ Y = \frac{2}{2} = 1 $.
  • $ X = 3 $:
    • É primo e ímpar.
    • Atende à primeira condição.
    • Então, $ Y = -1 $.
  • $ X = 4 $:
    • Não é primo.
    • $ \sqrt{4} = 2 $ (inteira).
    • Então, $ Y = 2 $.
  • $ X = 5 $:
    • É primo e ímpar.
    • Atende à primeira condição.
    • Então, $ Y = -1 $.
  • $ X = 6 $:
    • Não é primo.
    • $ \sqrt{6} $ não é inteiro.
    • Então, $ Y = \frac{6}{2} = 3 $.
  • $ X = 7 $:
    • É primo e ímpar.
    • Atende à primeira condição.
    • Então, $ Y = -1 $.

Passo 5

Agora, vamos listar todos os possíveis valores de $ Y $ com suas respectivas probabilidades:
  • $ Y = 0 $:
    • Vem de $ X = 0 $.
    • $ P(Y=0) = P(X=0) = \frac{1}{9} $.
  • $ Y = 1 $:
    • Vem de $ X = 1 $ e $ X = 2 $.
    • $ P(Y=1) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18} $.
  • $ Y = -1 $:
    • Vem de $ X = 3, 5, 7 $.
    • $ P(Y=-1) = P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{5}{18} $.
  • $ Y = 2 $:
    • Vem de $ X = 4 $.
    • $ P(Y=2) = P(X=4) = \frac{1}{9} $.
  • $ Y = 3 $:
    • Vem de $ X = 6 $.
    • $ P(Y=3) = P(X=6) = \frac{1}{9} $.

Resposta

O conjunto dos possíveis valores de $ Y $ é $ R_Y = { -1, 0, 1, 2, 3 } $ e a função de probabilidade $ f_Y $ é:
Y á

Exercícios relacionados