Consideremos a força do vácuo provocada pelo gás de \mathrm{F}_{2} e \mathrm{O}_{2} em um balão de vidro de 1 L , sob uma pressão de 1,5 torr, com diâmetros de colisão é de 275 e 298 pm , respectivamente, na temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) Velocidade média das moléculas;
b) A frequência de colisão do gás;
c) A perda de massa do gás \mathrm{O}_{2}, quando um orifício com diâmetro 0,01 \mathrm{~nm} é realizado no balão, durante o intervalo de tempo de 5 minutos.

Passo 1

O enunciado diz que temos um balão de 1\\ \mathrm{L} contendo uma mistura de \mathrm{F}_2 e \mathrm{O}_2 à pressão de 1{,}5\\ \mathrm{torr} e temperatura de 25^\circ\mathrm{C} T=298\\ \mathrm{K}. Precisamos de três coisas de teoria cinética dos gases:
  1. A velocidade média das moléculas, dada por
\bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
2. A frequência de colisão molécula–molécula, que num gás ideal de densidade n e diâmetro de colisão \sigma=\pi d^2 é
z = \sqrt2\,n\,\sigma\,\bar v.
  1. A taxa de efusão em vácuo através de um orifício de área A, que é
\frac{dN}{dt} = \frac14\,n\,\bar v\,A,
e daí obtemos a massa perdida \Delta m = m_{\rm mol}\,(dN/dt)\,t.

Passo 2

Calcular primeiro a velocidade média de cada espécie. Convertendo as massas molares: \,M_{\mathrm{F}_2}=38{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}, \,M_{\mathrm{O}_2}=32{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
Então
\bar v_{\mathrm{F}_2} = \sqrt{\frac{8\,R\,T}{\pi\,M_{\mathrm{F}_2}}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}314\cdot298}{\pi\cdot38{,}00\times10^{-3}}} \approx 4,08\times10^2\\ \mathrm{m/s},
\bar v_{\mathrm{O}_2} = \sqrt{\frac{8\,R\,T}{\pi\,M_{\mathrm{O}_2}}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}314\cdot298}{\pi\cdot32{,}00\times10^{-3}}} \approx 4,44\times10^2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a frequência de colisão. Primeiro a densidade numérica
n = \frac{p}{k\,T} \quad\text{com}\quad p = 1{,}5\\ \mathrm{torr} = 1{,}5\cdot133{,}3\\ \mathrm{Pa} = 200\\ \mathrm{Pa}, \quad k=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
n = \frac{200}{1{,}38\times10^{-23}\cdot298} \approx 4,86\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}}.
O diâmetro de colisão dá \sigma_{\mathrm{F}_2}=\pi(275\times10^{-12})^2\approx2,38\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2} e \sigma_{\mathrm{O}_2}=\pi(298\times10^{-12})^2\approx2,79\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.
Logo
z_{\mathrm{F}_2} = \sqrt2\,n\,\sigma_{\mathrm{F}_2}\,\bar v_{\mathrm{F}_2} \approx1{,}414\cdot4,86\times10^{22}\cdot2,38\times10^{-19}\cdot4,08\times10^2 \approx6,7\times10^6\\ \mathrm{s^{-1}},
z_{\mathrm{O}_2} = \sqrt2\,n\,\sigma_{\mathrm{O}_2}\,\bar v_{\mathrm{O}_2} \approx1{,}414\cdot4,86\times10^{22}\cdot2,79\times10^{-19}\cdot4,44\times10^2 \approx8,5\times10^6\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Para a efusão de \mathrm{O}_2 num intervalo t=5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s} por um orifício de diâmetro 0,01\\ \mathrm{nm}=1{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{m}, sua área é
A = \pi\bigl(0,5\times10^{-11}\bigr)^2 \approx7,85\times10^{-23}\\ \mathrm{m^2}.
A taxa de saída de moléculas é
\frac{dN}{dt} =\frac14\,n\,\bar v_{\mathrm{O}_2}\,A = \tfrac14\cdot4,86\times10^{22}\cdot4,44\times10^2\cdot7,85\times10^{-23} \approx4,24\times10^2\\ \mathrm{s^{-1}}.
Em 300\\ \mathrm{s} escapa N\approx4,24\times10^2\cdot300\approx1,27\times10^5 moléculas. Como cada molécula de \mathrm{O}_2 tem massa m_{\rm mol}=\tfrac{32{,}00\times10^{-3}}{6,02\times10^{23}}\approx5,31\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}, a massa perdida é
\Delta m = N\,m_{\rm mol} \approx1,27\times10^5\cdot5,31\times10^{-26} \approx6,8\times10^{-21}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

a) \bar v_{\mathrm{F}_2}\approx4,08\times10^2\\ \mathrm{m/s}, \bar v_{\mathrm{O}_2}\approx4,44\times10^2\\ \mathrm{m/s}.
b) z_{\mathrm{F}_2}\approx6,7\times10^6\\ \mathrm{s^{-1}}, z_{\mathrm{O}_2}\approx8,5\times10^6\\ \mathrm{s^{-1}}.
c) \Delta m_{\mathrm{O}_2}\approx6,8\times10^{-21}\\ \mathrm{kg}.

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