Uma partícula de 2,0 \mathrm{~kg} se move ao longo de um eixo x sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada por x=3,0 m+\left(4,0 \frac{m}{s}\right) t+c t^{2}+\left(2,0 \frac{m}{s^{3}}\right) t^{3}, com x em metros e t em segundos. O fator c é uma constante. No instante t=3,0 s a força que age sobre a partícula tem um módulo de 36 N e aponta no sentido negativo do eixo x. Qual é o valor de c ?
Escolha uma opção:
c)
-9 \frac{m}{s^{2}}
a)
-27 \frac{m}{s^{2}}
b) 27 \frac{m}{s^{2}}
d) 9 \frac{m}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece uma partícula de massa \,2{,}0\mathrm{~kg} cuja posição ao longo do eixo x é
x(t)=3{,}0+4{,}0\,t+c\,t^{2}+2{,}0\,t^{3}
com x em metros e t em segundos. Pede-se o valor de c sabendo que, no instante t=3{,}0 s, a força resultante tem módulo 36 N e aponta no sentido negativo de x. Vamos usar a Segunda Lei de Newton, que diz \mathbf{F}=m\,\mathbf{a}, e obter a aceleração a partir de derivadas de x(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade \,v(t)=\frac{dx}{dt} e a aceleração \,a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3{,}0+4{,}0\,t+c\,t^{2}+2{,}0\,t^{3}\bigr) =4{,}0+2\,c\,t+6{,}0\,t^{2},
a(t)=\frac{dv}{dt}=2\,c+12{,}0\,t.

Passo 3

No instante t=3{,}0 s,
a(3{,}0)=2\,c+12{,}0\times3{,}0=2\,c+36.

Passo 4

Pela Segunda Lei de Newton, a força resultante em x é
F_x=m\,a(3{,}0)=2{,}0\,(2\,c+36)=4\,c+72.
Como o enunciado diz que essa força tem módulo 36 N e aponta no sentido negativo de x, temos
F_x=-36.
Portanto,
4\,c+72=-36.

Passo 5

Resolvendo para c:
4\,c=-36-72=-108 \quad\Rightarrow\quad c=-27\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}.

Resposta

-27\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}

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