{ }^{1} Consideremos a função y=x^{2} e vamos usar o método de Riemann para calcular \int_{0}^{1} x^{2} d x. Para isto, siga o seguinte roteiro:
i) divida o intervalo [0,1] em n subintervalos de mesmo comprimento;
ii) em cada subintervalo \left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right], i \in\{1,2, \cdots, n\}, escolha \bar{x}_{i}=i / n de modo que a altura de cada retângulo será f\left(\bar{x}_{i}\right)=\left(\frac{i}{n}\right)^{2};
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
A_{n}=\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}} ;
iv) use a identidade
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
para mostrar que A_{n}=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6 n^{2}};
v) calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n} e verifique, como vimos em sala, que \lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n}=\int_{0}^{1} x^{2} d x.

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx
usando somas de Riemann. O conteúdo aqui é entender que uma integral definida é o limite de somas de retângulos. Para isso vamos precisar de:
  • Particionar o intervalo em n pedaços iguais;
  • Definir o valor de x em cada subintervalo;
  • Formar a soma de Riemann e usar a fórmula da soma dos quadrados
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
  • Tomar o limite quando n\to+\infty.

Passo 2

Dividimos [0,1] em n subintervalos de comprimento igual
\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.
Os pontos da partição são
x_{0}=0,\; x_{1}=\frac{1}{n},\; x_{2}=\frac{2}{n},\;\dots,\; x_{n}=\frac{n}{n}=1.
Vamos usar o ponto à direita de cada subintervalo, isto é
\bar x_{i} = x_{i} = \frac{i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

Em cada subintervalo tomamos a altura do retângulo como
f(\bar x_{i}) = \Bigl(\tfrac{i}{n}\Bigr)^{2}
e a área de cada retângulo é
f(\bar x_{i})\,\Delta x = \Bigl(\tfrac{i}{n}\Bigr)^{2}\cdot \frac{1}{n} = \frac{i^{2}}{n^{3}}.
Somando de i=1 até n obtemos a soma de Riemann
A_{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{n^{3}} \;=\;\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}.

Passo 4

Agora usamos a identidade
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
para reescrever
A_{n} = \frac{1}{n^{3}}\;\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6\,n^{3}} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6\,n^{2}}.

Passo 5

Falta só tomar o limite quando n\to+\infty:
\lim_{n\to+\infty}A_{n} = \lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6\,n^{2}} = \frac{\bigl(\lim (n+1)/n\bigr)\,\bigl(\lim (2n+1)/n\bigr)}{6} = \frac{(1+0)\,(2+0)}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Isso mostra que
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.

Resposta

\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.

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