Consideremos a função
e vamos usar o método de Riemann para calcular
. Para isto, siga o seguinte roteiro:
i) divida o intervalo
em
subintervalos de mesmo comprimento;
ii) em cada subintervalo
, escolha
de modo que a altura de cada retângulo será
;
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
iv) use a identidade
para mostrar que
;
v) calcule
e verifique, como vimos em sala, que
.
i) divida o intervalo
ii) em cada subintervalo
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
v) calcule
Passo 1
O enunciado quer que a gente calcule
usando somas de Riemann. O conteúdo aqui é entender que uma integral definida é o limite de somas de retângulos. Para isso vamos precisar de:
- Particionar o intervalo em
pedaços iguais; - Definir o valor de
em cada subintervalo; - Formar a soma de Riemann e usar a fórmula da soma dos quadrados
- Tomar o limite quando
.
Passo 2
Dividimos
em
subintervalos de comprimento igual
Os pontos da partição são
Vamos usar o ponto à direita de cada subintervalo, isto é
Passo 3
Em cada subintervalo tomamos a altura do retângulo como
e a área de cada retângulo é
Somando de
até
obtemos a soma de Riemann
Passo 4
Agora usamos a identidade
para reescrever
Passo 5
Falta só tomar o limite quando
:
Isso mostra que