Consideremos \mathrm{F}, \mathrm{G} \in \mathrm{L}\left(\mathrm{R}^{2}\right) definidos \operatorname{por} \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}, \mathrm{x}) e \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, 0). Determinar:
F O G

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares F,G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e pede a composição F\circ G (ou seja, aplicar primeiro G e depois F). Informações do enunciado:
  • F(x,y)=(x-y,\;x).
  • G(x,y)=(x,\;0).
    Pergunta: determinar explicitamente F\circ G (a função que envia cada (x,y)\in\mathbb{R}^2 para F(G(x,y))).

Passo 2

Lembrete didático — como calcular F\circ G de duas maneiras:
  • Método direto por definição: para cada (x,y) primeiro calcular G(x,y) e depois aplicar F ao resultado.
  • Método matricial: representar F e G pelas suas matrizes na base canônica \{(1,0),(0,1)\} e multiplicar as matrizes (a matriz de F\circ G é a produto da matriz de F pela matriz de G). Vou explicar e usar ambos para confirmar.

Passo 3

Calcular diretamente aplicando G e depois F.
Primeiro, para um vetor genérico (x,y),
G(x,y)=(x,0).
Agora aplicar F ao vetor (x,0):
F(x,0) = (\,x-0,\;x\,) = (x,x).
Portanto, por definição,
(F\circ G)(x,y) = F\big(G(x,y)\big) = (x,x).
Comentário didático: note que o segundo componente final não depende de y porque G zera a segunda coordenada antes de F ser aplicado.

Passo 4

Fazer pela via das matrizes (confirmação e prática útil para provas).
Representação matricial na base canônica:
  • Para F(x,y)=(x-y,\;x), a matriz A_F que representa F é obtida aplicando F aos vetores da base: F(1,0)=(1,1),\qquad F(0,1)=(-1,0).Logo A_F=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Para G(x,y)=(x,0), aplicando na base: G(1,0)=(1,0),\qquad G(0,1)=(0,0).Logo A_G=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz da composição é o produto A_F A_G:
A_F A_G = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-1)\cdot0 & 1\cdot0 + (-1)\cdot0\\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aplicando essa matriz a (x,y) obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[4pt] x\end{pmatrix},
que concorda com o cálculo direto.]

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar: se (x,y)=(2,5), então G(2,5)=(2,0) e F(2,0)=(2,2). Logo (F\circ G)(2,5)=(2,2). Isso ilustra que a segunda coordenada final é igual à primeira coordenada original.

Resposta

(F\circ G)(x,y)=(x,x)
Matriz de F\circ G na base canônica: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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