Consideremos
definidos
e
. Determinar:
F O G
F O G
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares
e pede a composição
(ou seja, aplicar primeiro
e depois
). Informações do enunciado:
-
. -
.
Pergunta: determinar explicitamente(a função que envia cada para ).
Passo 2
Lembrete didático — como calcular
de duas maneiras:
- Método direto por definição: para cada
primeiro calcular e depois aplicar ao resultado. - Método matricial: representar
e pelas suas matrizes na base canônica e multiplicar as matrizes (a matriz de é a produto da matriz de pela matriz de ). Vou explicar e usar ambos para confirmar.
Passo 3
Calcular diretamente aplicando
e depois
.
Primeiro, para um vetor genérico
,
Agora aplicar
ao vetor
:
Portanto, por definição,
Comentário didático: note que o segundo componente final não depende de
porque
zera a segunda coordenada antes de
ser aplicado.
Passo 4
Fazer pela via das matrizes (confirmação e prática útil para provas).
Representação matricial na base canônica:
- Para
, a matriz que representa é obtida aplicando aos vetores da base: Logo - Para
, aplicando na base: Logo
A matriz da composição é o produto
:
Aplicando essa matriz a
obtemos
que concorda com o cálculo direto.]
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
e
. Logo
. Isso ilustra que a segunda coordenada final é igual à primeira coordenada original.
Resposta
Matriz de
na base canônica:
]