Consideremos \mathrm{F}, \mathrm{G} \in \mathrm{L}\left(\mathrm{R}^{2}\right) definidos \operatorname{por} \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}, \mathrm{x}) e \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, 0). Determinar:
G^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares \mathrm{F},\mathrm{G}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definidas por
\mathrm{F}(x,y)=(x-y,x), \qquad \mathrm{G}(x,y)=(x,0).
A pergunta é: determinar \mathrm{G}^{2}.
Ou seja, encontrar a aplicação \mathrm{G}\circ\mathrm{G} (a composição de \mathrm{G} consigo mesma) escrita de forma explícita em termos de (x,y) — e, se for útil, identificar propriedades relevantes do operador resultante.

Passo 2

Relembrando (de forma bem direta): a composição \mathrm{G}^{2}=\mathrm{G}\circ\mathrm{G} é definida por
(\mathrm{G}\circ\mathrm{G})(x,y)=\mathrm{G}\big(\mathrm{G}(x,y)\big).
Primeiro calculemos \mathrm{G}(x,y). Pelo enunciado,
\mathrm{G}(x,y)=(x,0).

Passo 3

Agora aplicamos \mathrm{G} novamente ao resultado (x,0). Usando a mesma regra,
\mathrm{G}(x,0)=(x,0).
Portanto, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos
\mathrm{G}^{2}(x,y)=\mathrm{G}\big(\mathrm{G}(x,y)\big)=(x,0).

Passo 4

Uma maneira alternativa (equivalente) de ver isso é por matrizes na base padrão. As colunas da matriz de \mathrm{G} são \mathrm{G}(1,0)=(1,0) e \mathrm{G}(0,1)=(0,0), então
[\mathrm{G}] = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando a matriz por ela mesma obtém-se
[\mathrm{G}]^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = [\mathrm{G}],
logo \mathrm{G}^2=\mathrm{G}. Isso significa que \mathrm{G} é idempotente (aplicando-a duas vezes obtém-se o mesmo que aplicá-la uma vez).]

Resposta

\mathrm{G}^{2}(x,y)=(x,0)

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