Consideremos
definidos
e
. Determinar:
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares
definidas por
A pergunta é: determinar
.
Ou seja, encontrar a aplicação (a composição de
consigo mesma) escrita de forma explícita em termos de
— e, se for útil, identificar propriedades relevantes do operador resultante.
Ou seja, encontrar a aplicação
Passo 2
Relembrando (de forma bem direta): a composição
é definida por
Primeiro calculemos
. Pelo enunciado,
Passo 3
Agora aplicamos
novamente ao resultado
. Usando a mesma regra,
Portanto, para todo
temos
Passo 4
Uma maneira alternativa (equivalente) de ver isso é por matrizes na base padrão. As colunas da matriz de
são
e
, então
Multiplicando a matriz por ela mesma obtém-se
logo
. Isso significa que
é idempotente (aplicando-a duas vezes obtém-se o mesmo que aplicá-la uma vez).]