Sejam F: R^{3} \rightarrow R^{2} e G: R^{3} \rightarrow R^{2} as transformações lineares definidas por
F(x, y, z)=(x+y, z) \text { e } G(x, y, z)=(x, y,-z) .
Determinar as seguintes transformações lineares de \mathrm{R}^{3} em \mathrm{R}^{2} :
F + G

Passo 1

O enunciado apresenta as seguintes informações:
  • F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por F(x,y,z)=(x+y,\,z).
  • G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por G(x,y,z)=(x,\,y,\,-z).
O objetivo é determinar a transformação linear F+G.
Observação importante: existe uma inconsistência no enunciado. Ele declara G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, mas define G(x,y,z) com três coordenadas (x,\,y,\,-z), o que corresponde a um vetor em \mathbb{R}^3. Os dados fornecidos para G não coincidem com o codomínio declarado.

Passo 2

Conceito necessário: soma de transformações lineares.
  • Se F e G são transformações lineares com o mesmo domínio e codomínio, a soma F+G é definida por
(F+G)(v)=F(v)+G(v)
para todo vetor v do domínio.
  • A soma F(v)+G(v) é a soma de vetores no codomínio, portanto, é imprescindível que F(v) e G(v) pertençam ao mesmo espaço vetorial (mesmo codomínio). Aqui, precisamos que ambos produzam vetores em \mathbb{R}^2.
Explicando de forma concreta: se F(x,y,z)=(f_1,f_2) e G(x,y,z)=(g_1,g_2) com f_i,g_i\in\mathbb{R}, então
(F+G)(x,y,z)=(f_1+g_1,\,f_2+g_2).
Ou seja, soma componente a componente.

Passo 3

Aplicando esse conhecimento ao enunciado: devido à inconsistência observada, não é possível calcular F+G tal como o enunciado está escrito, pois não se pode somar um vetor em \mathbb{R}^2 (saída de F) com um vetor em \mathbb{R}^3 (aparente saída de G). A operação não faz sentido sem ajustar o que G realmente deve ser. Portanto, estritamente falando, com os dados fornecidos, não há como determinar F+G.

Passo 4

Como exercício de salvamento (e o que provavelmente o autor do exercício quis): vou mostrar a forma geral de fazer a soma quando G for realmente uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2. Se interpretarmos que a intenção era que G tivesse duas componentes (por exemplo, supondo que a escrita correta seria G(x,y,z)=(x,\,y) e o `` -z’’ foi um excesso), então temos:
  • F(x,y,z)=(x+y,\,z).
  • Supondo G(x,y,z)=(x,\,y).
Então, a soma componente a componente dá
(F+G)(x,y,z)=(\underbrace{x+y}_{f_1}+\underbrace{x}_{g_1},\;\underbrace{z}_{f_2}+\underbrace{y}_{g_2}).
Fazendo as somas:
(F+G)(x,y,z)=(2x+y,\;y+z).
Dou outro exemplo rápido para fixar: se F(u)=(u_1+u_2,u_3) e G(u)=(2u_1, -u_2), então (F+G)(u)=(u_1+u_2+2u_1,\;u_3-u_2)=(3u_1+u_2,\;u_3-u_2). A ideia é sempre somar coordenada a coordenada.

Passo 5

Resumo e incentivo: a operação é simples (soma componente a componente), mas atenção com detalhes do enunciado: o codomínio deve coincidir. Se o seu enunciado original tinha um erro de digitação em G, use o procedimento do Passo 4. Se G realmente devolve três coordenadas, então G não é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e não dá para somar com F sem corrigir isso.

Resposta

Não é possível calcular (F+G) com os dados fornecidos: há uma inconsistência porque o enunciado declara G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 mas fornece G(x,y,z)=(x,\,y,\,-z) que é um vetor em \mathbb{R}^3.
Assumindo a correção plausível G(x,y,z)=(x,\,y), então
(F+G)(x,y,z)=(2x+y,\;y+z).

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