Em Z se define R mediante
(a, b) in R Leftrightarrow a^2+a=b^2+b
Classificar R.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em ℤ temos a relação
(a,b)in R ;Leftrightarrow; a^2 + a = b^2 + b
O que a gente precisa fazer é “classificar” essa relação, ou seja: ver se ela é reflexiva, simétrica e transitiva (pra saber se é equivalência) e, se for, como ficam as classes de equivalência. Vamos usar noções básicas de relações e resolver alguns quadráticos.

Passo 2

Reflexividade: a gente precisa mostrar que todo a^2 + a = a^2 + a, está relacionado com ele mesmo.
Basta ver que
logo . Pronto, é reflexiva.

Passo 3

Simetria: suponha que a^2 + a = b^2 + b . Então
b^2 + b = a^2 + a,
Mas igualdade é algo que a gente pode inverter, então também vale
isto é, . Show, é simétrica.

Passo 4

Transitividade: suponha a^2 + a = b^2 + b e b^2 + b = c^2 + c e .
Isso quer dizer
Juntando, , logo . É transitiva.
Até aqui descobrimos que é uma relação de equivalência em .

Passo 5

Agora, as classes de equivalência. Dado um b^2 + b = a^2 + a ;Long<=ftrightarrow; b^2 + b - (a^2 + a)=0 , quem mais está na mesma classe? A gente resolve
b^2 + b - a^2 - a = 0
Isso é um quadrático em De:
b = -1 pm (2a+1)2
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
Então
Isso dá duas raízes:
  1. .
  2. .
Ou seja, cada se “liga” só a ele mesmo e ao .

Resposta

[a] ;=;,a,,-a-1 (para cada ainZ) é uma relação de equivalência em .
As classes de equivalência são

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