Em
se define
mediante
Classificar
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em ℤ temos a relação
O que a gente precisa fazer é “classificar” essa relação, ou seja: ver se ela é reflexiva, simétrica e transitiva (pra saber se é equivalência) e, se for, como ficam as classes de equivalência. Vamos usar noções básicas de relações e resolver alguns quadráticos.
Passo 2
Reflexividade: a gente precisa mostrar que todo
está relacionado com ele mesmo.
Basta ver que
Basta ver que
logo
. Pronto, é reflexiva.
Passo 3
Simetria: suponha que
. Então
Mas igualdade é algo que a gente pode inverter, então também vale
isto é,
. Show, é simétrica.
Passo 4
Transitividade: suponha
e
.
Isso quer dizer
Isso quer dizer
Juntando,
, logo
. É transitiva.
Até aqui descobrimos que
é uma relação de equivalência em
.
Passo 5
Agora, as classes de equivalência. Dado um
, quem mais está na mesma classe? A gente resolve
Isso é um quadrático em
:
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
Então
Isso dá duas raízes:
-
. -
.
Ou seja, cada
se “liga” só a ele mesmo e ao
.
Resposta
As classes de equivalência são