Considere um filtro de ar cuja forma é aproximadamente a do conjunto
e que está imerso numa corrente de ar cujo campo de velocidades é dado pela expressão
Mostre que a quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, supondo que a densidade do ar é constante e igual a 1. Usando o teorema de Stokes, calcule o fluxo de ar que sai através da parede circular do filtro.
Passo 1
A região D é o sólido de revolução definido por 0 ≤ z ≤ 2 e x²+y² ≤ z², ou seja, um cone com vértice na origem e base circular de raio 2 em z=2. O campo de velocidades é F(x,y,z) = (2yz e^{y²}, 2xz e^{x²}, -2 + xy) e densidade constante igual a 1. Vamos mostrar que o ar se conserva (divergência nula) e usar o teorema de Gauss (também chamado de teorema de Stokes em alguns textos) para achar o fluxo pela parede lateral.
Passo 2
Calcular a divergência de F: a definição é ∇·F = ∂(2yz e^{y²})/∂x + ∂(2xz e^{x²})/∂y + ∂(-2+xy)/∂z. Observamos que
logo ∇·F = 0. Isso significa que não há criação nem destruição de ar dentro de D, ou seja, a massa no filtro é constante.
Passo 3
A fronteira ∂D é composta pela superfície lateral cônica S_lateral e pelo disco superior S_top em z=2 (o disco em z=0 reduz-se a um ponto sem área). Pelo teorema de Gauss, o fluxo total numa superfície fechada vale
Logo
Passo 4
Agora calculamos o fluxo pelo disco superior S_top: ali z=2 e o versor normal exterior é n=(0,0,1). Então
Pela simetria,
Passo 5
Portanto o fluxo que sai pela parede lateral é
Resposta
O fluxo de ar que sai através da parede circular do filtro é
.