Considere um filtro de ar cuja forma é aproximadamente a do conjunto
D=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= z^2 <= 4, z >= 0
e que está imerso numa corrente de ar cujo campo de velocidades é dado pela expressão
F(x, y, z)=(2 y z exp (y^2), 2 x z exp (x^2),-2+x y)
Mostre que a quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, supondo que a densidade do ar é constante e igual a 1. Usando o teorema de Stokes, calcule o fluxo de ar que sai através da parede circular do filtro.

Passo 1

A região D é o sólido de revolução definido por 0 ≤ z ≤ 2 e x²+y² ≤ z², ou seja, um cone com vértice na origem e base circular de raio 2 em z=2. O campo de velocidades é F(x,y,z) = (2yz e^{y²}, 2xz e^{x²}, -2 + xy) e densidade constante igual a 1. Vamos mostrar que o ar se conserva (divergência nula) e usar o teorema de Gauss (também chamado de teorema de Stokes em alguns textos) para achar o fluxo pela parede lateral.

Passo 2

Calcular a divergência de F: a definição é ∇·F = ∂(2yz e^{y²})/∂x + ∂(2xz e^{x²})/∂y + ∂(-2+xy)/∂z. Observamos que
partialpartial x(2yz e^y^2)=0, partialpartial y(2xz e^x^2)=0, partialpartial z(-2+xy)=0,
logo ∇·F = 0. Isso significa que não há criação nem destruição de ar dentro de D, ou seja, a massa no filtro é constante.

Passo 3

A fronteira ∂D é composta pela superfície lateral cônica S_lateral e pelo disco superior S_top em z=2 (o disco em z=0 reduz-se a um ponto sem área). Pelo teorema de Gauss, o fluxo total numa superfície fechada vale
Phitotal=integral duplapartial DFcdot n,dS=integral triplaD(nablacdot F),dV=0
Logo
Philateral+Phitop=0impliesPhilateral=-Phitop

Passo 4

Agora calculamos o fluxo pelo disco superior S_top: ali z=2 e o versor normal exterior é n=(0,0,1). Então
Phitop=integral duplax^2+y^2<=4Fcdot n,dA=integral duplax^2+y^2<=4(-2+xy),dA
Pela simetria, integral dupla xy,dA=0 e integral duplax^2+y^2<=4-2,dA=-2cdot(picdot2^2)=-8pi Assim Phitop=-8pi

Passo 5

Portanto o fluxo que sai pela parede lateral é
Philateral=-Phitop=8pi

Resposta

O fluxo de ar que sai através da parede circular do filtro é 8pi.

Exercícios relacionados