(Continuidade e derivabilidade -2.5 pontos) Ache os valores de a e b tais que f seja derivavel em 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade e derivabilidade! A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja derivável em $ x = 1 $. A função é definida por partes:
a
Para que $ f $ seja derivável em $ 1 $, ela precisa ser contínua em $ 1 $ e as derivadas dos dois lados de $ 1 $ devem ser iguais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 1 $. Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 1 $ pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor de $ f(1) $.
Para $ x < 1 $, $ f(x) = x^2 $. Então,
x = 1
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = a x + b $. Então,
f(x)
Igualando os limites:
x
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada da função seja contínua em $ x = 1 $. Isso significa que a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita.
Derivando $ f(x) $ para $ x < 1 $:
x = 1
Então,
f(x)
Derivando $ f(x) $ para $ x \geq 1 $:
x < 1
Então,
f'(x) = ddx(x^2) = 2x
Para a derivada ser contínua:
limx to 1^- f'(x) = 2 cdot 1 = 2
Agora sabemos que $ a = 2 $.

Passo 4

Com $ a = 2 $, vamos voltar à primeira equação para encontrar $ b $:
a = 2

Resposta

Os valores são $ a = 2 $ e $ b = -1 $.

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