(Continuidade e derivabilidade -2.5 pontos) Ache os valores de
e
tais que
seja derivavel em 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade e derivabilidade! A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja derivável em $ x = 1 $. A função é definida por partes:
Para que $ f $ seja derivável em $ 1 $, ela precisa ser contínua em $ 1 $ e as derivadas dos dois lados de $ 1 $ devem ser iguais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 1 $. Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 1 $ pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor de $ f(1) $.
Para $ x < 1 $, $ f(x) = x^2 $. Então,
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = a x + b $. Então,
Igualando os limites:
Essa é a primeira equação que vamos usar.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada da função seja contínua em $ x = 1 $. Isso significa que a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita.
Derivando $ f(x) $ para $ x < 1 $:
Então,
Derivando $ f(x) $ para $ x \geq 1 $:
Então,
Para a derivada ser contínua:
Agora sabemos que $ a = 2 $.
Passo 4
Com $ a = 2 $, vamos voltar à primeira equação para encontrar $ b $:
Resposta
Os valores são $ a = 2 $ e $ b = -1 $.