Consideremos o seguinte produto interno em P_{2} : \langle p, q\rangle=a_{2} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{0} b_{0}, sendo p=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} e q=b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}. Se p=2-3 x+5 x^{2} e q=7+5 x-4 x^{2}, determine o seguinte:
\langle q, p\rangle

Passo 1

O enunciado dá um produto interno em P_{2} definido por
\langle p,q\rangle = a_{2}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{0}b_{0},
onde p=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} e q=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}. Foram fornecidos os polinômios
p=2-3x+5x^{2}
e
q=7+5x-4x^{2}.
A pergunta é: determine \langle q,p\rangle.

Passo 2

Vamos entender bem o que o produto interno faz: ele pega os coeficientes de mesma ordem dos dois polinômios e calcula a soma dos produtos correspondentes. Em notação,
\langle p,q\rangle = a_{2}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{0}b_{0}.
Um ponto importante (útil na prova): esse produto interno é simétrico, porque a multiplicação de números é comutativa, logo
\langle p,q\rangle = \langle q,p\rangle.
Isso significa que podemos calcular \langle q,p\rangle igual como calcularíamos \langle p,q\rangle.

Passo 3

Extraímos os coeficientes dos polinômios dados. Do polinômio p=2-3x+5x^{2} temos
a_{2}=5,\quad a_{1}=-3,\quad a_{0}=2.
Do polinômio q=7+5x-4x^{2} temos
b_{2}=-4,\quad b_{1}=5,\quad b_{0}=7.

Passo 4

Aplicamos a definição do produto interno calculando os produtos par a par:
a_{2}b_{2} = 5\cdot(-4) = -20,
a_{1}b_{1} = (-3)\cdot 5 = -15,
a_{0}b_{0} = 2\cdot 7 = 14.

Passo 5

Agora somamos os três termos obtidos, deixando a simplificação final para a seção de resposta:
\langle q,p\rangle = -20 + (-15) + 14.

Resposta

-21

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