Exercício 13. Mostre que
, dados por
,
, para
, formam um subconjunto L.I. no espaço vetorial real
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as três transformações lineares
, definidas por
para
, formam um subconjunto linearmente independente do espaço vetorial
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A tarefa é provar que não existe combinação linear não-trivial entre
que produza o operador nulo (ou seja, que a única combinação linear que dá o operador zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Vou primeiro recordar de forma clara o que significa “linearmente independente” neste contexto — é importante entender bem para aplicar direto na prova.
Definição (explicada): três operadores
são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares
tais que a combinação linear
é o operador zero (denotado
, que manda todo vetor em
), então necessariamente
.
O operador zero
significa: para todo
,
Portanto, para mostrar independência basta assumir
e provar que isso força
.
Passo 3
Observação prática (truque que usamos muito em prova): um operador linear em
é completamente determinado pela sua ação sobre uma base de
. A base canônica mais simples é
Assim, a igualdade de operadores
é equivalente às duas iguais para os vetores da base:
Usar a base evita ter que trabalhar com um
genérico e é o caminho mais rápido em prova.
Passo 4
Calculemos as imagens de
e
por cada operador (faça isso devagar na prova — é passo a passo simples):
Para
:
Para
(lembre que
):
Para
(lembre que
):
Expliquei cada cálculo: por exemplo, em
colocamos
em
e obtemos
; faça o mesmo para os outros, sem pressa.
Passo 5
Agora forme a combinação linear aplicada a
Substituindo:
Pela hipótese
, essa imagem deve ser o vetor zero, então obtemos o sistema
Explanação: isso significa que, para o primeiro componente devemos ter
.]
Passo 6
Agora faça a mesma coisa com
:
Substituindo os vetores:
Novamente, isso deve ser
, então obtemos a equação
Passo 7
Temos então o sistema completo de equações em
Vamos resolver passo a passo (sem pular etapas, como você pediu):
Da terceira equação (2a+b=0] segue
Substitua
na primeira equação
:
Com
e
vem
Finalmente, pela segunda equação
temos
Portanto
.]
Passo 8
Conclusão lógica: a única combinação linear que anula
é a combinação trivial (todos coeficientes iguais a zero). Isso é exatamente a definição de linearmente independente. Logo
são linearmente independentes em
.
Dica para prova: na hora da prova escreva explicitamente que "se
então aplicando em
e
obtemos… e daí segue
". Isso deixa a argumentação curta e rigorosa.