Exercício 13. Mostre que T, R, S \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), dados por T(x, y)=(x, 2 y), R(x, y)=(x, x+y), S(x, y)=(0, x), para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, formam um subconjunto L.I. no espaço vetorial real \left(\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right),+, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três transformações lineares T, R, S \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), definidas por
T(x,y)=(x,2y),\qquad R(x,y)=(x,x+y),\qquad S(x,y)=(0,x),
para (x,y)\in\mathbb{R}^2, formam um subconjunto linearmente independente do espaço vetorial \big(\mathcal{L}(\mathbb{R}^2),+,\cdot\big).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad T(x,y)=(x,2y),
\text{(ii)}\quad R(x,y)=(x,x+y),
\text{(iii)}\quad S(x,y)=(0,x).
A tarefa é provar que não existe combinação linear não-trivial entre T,R,S que produza o operador nulo (ou seja, que a única combinação linear que dá o operador zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Vou primeiro recordar de forma clara o que significa “linearmente independente” neste contexto — é importante entender bem para aplicar direto na prova.
Definição (explicada): três operadores T,R,S são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que a combinação linear
aT + bR + cS
é o operador zero (denotado 0, que manda todo vetor em (0,0)), então necessariamente a=b=c=0.
O operador zero 0 significa: para todo v\in\mathbb{R}^2,
0(v)=(0,0).
Portanto, para mostrar independência basta assumir
aT+bR+cS=0
e provar que isso força a=b=c=0.

Passo 3

Observação prática (truque que usamos muito em prova): um operador linear em \mathbb{R}^2 é completamente determinado pela sua ação sobre uma base de \mathbb{R}^2. A base canônica mais simples é
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Assim, a igualdade de operadores aT+bR+cS=0 é equivalente às duas iguais para os vetores da base:
(aT+bR+cS)(e_1)=(0,0),\qquad (aT+bR+cS)(e_2)=(0,0).
Usar a base evita ter que trabalhar com um (x,y) genérico e é o caminho mais rápido em prova.

Passo 4

Calculemos as imagens de e_1 e e_2 por cada operador (faça isso devagar na prova — é passo a passo simples):
Para T:
T(e_1)=T(1,0)=(1,0),\qquad T(e_2)=T(0,1)=(0,2).
Para R (lembre que R(x,y)=(x,x+y)):
R(e_1)=R(1,0)=(1,1),\qquad R(e_2)=R(0,1)=(0,1).
Para S (lembre que S(x,y)=(0,x)):
S(e_1)=S(1,0)=(0,1),\qquad S(e_2)=S(0,1)=(0,0).
Expliquei cada cálculo: por exemplo, em T(1,0) colocamos x=1,y=0 em T(x,y)=(x,2y) e obtemos (1,0); faça o mesmo para os outros, sem pressa.

Passo 5

Agora forme a combinação linear aplicada a e_1\). Usando os resultados do passo anterior: \[(aT+bR+cS)(e_1)=aT(e_1)+bR(e_1)+cS(e_1).
Substituindo:
a(1,0)+b(1,1)+c(0,1)=(a+b,\; b+c).
Pela hipótese aT+bR+cS=0, essa imagem deve ser o vetor zero, então obtemos o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] b+c=0. \end{cases}
Explanação: isso significa que, para o primeiro componente devemos ter a+b=0\] e para o segundo \(b+c=0.]

Passo 6

Agora faça a mesma coisa com e_2:
(aT+bR+cS)(e_2)=aT(e_2)+bR(e_2)+cS(e_2).
Substituindo os vetores:
a(0,2)+b(0,1)+c(0,0)=(0,\;2a+b).
Novamente, isso deve ser (0,0), então obtemos a equação
2a+b=0.

Passo 7

Temos então o sistema completo de equações em a,b,c\): \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] b+c=0,\\[4pt] 2a+b=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo (sem pular etapas, como você pediu):
Da terceira equação (2a+b=0] segue
b=-2a.
Substitua b na primeira equação a+b=0:
a+(-2a)=0 \quad\Rightarrow\quad -a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Com a=0 e b=-2a vem
b= -2\cdot 0 = 0.
Finalmente, pela segunda equação b+c=0 temos
0+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Portanto a=b=c=0.]

Passo 8

Conclusão lógica: a única combinação linear que anula T,R,S é a combinação trivial (todos coeficientes iguais a zero). Isso é exatamente a definição de linearmente independente. Logo T,R,S são linearmente independentes em \mathcal{L}(\mathbb{R}^2).
Dica para prova: na hora da prova escreva explicitamente que "se aT+bR+cS=0 então aplicando em e_1 e e_2 obtemos… e daí segue a=b=c=0". Isso deixa a argumentação curta e rigorosa.

Resposta

T, R, S são linearmente independentes.

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