Exercício 14. Sejam
espaços vetoriais,
e
, tais que
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Espaços vetoriais
, , . - Aplicações lineares
e . - Informação sobre núcleos:
(ou seja, o núcleo de contém apenas o vetor zero de ).
(ou seja, o núcleo de contém apenas o vetor zero de ).
O que precisamos mostrar:
- Que
, isto é, que o núcleo da composição também é apenas o vetor zero de .
Passo 2
Definições e propriedades que vamos usar (explicadinhas):
- Núcleo (ou kernel) de uma aplicação linear
é
.
Aqui, por exemplo,.
Dizer quesignifica: a única solução de é . - Composição de aplicações:
para todo . - Propriedade básica das aplicações lineares: toda aplicação linear leva o vetor zero ao vetor zero. Ou seja,
e . (Prova rápida: , subtraindo obtém-se .)
Passo 3
Mostramos primeiro que
.
Tomando
, aplicando
:
Usando que
e
, obtemos
Logo
. Portanto
.
Passo 4
Agora mostramos a inclusão oposta
. Para isso, pegue um
. Pela definição de núcleo:
Isto é,
Passo 5
Da igualdade
segue que
, porque
. Mas pelo enunciado
, então necessariamente
Passo 6
Tendo
, concluímos que
. Como
pelo enunciado, segue que
Assim qualquer
é igual a
, o que mostra
.
Passo 7
Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 6, obtemos igualdade:
Comentário final (intuição): isto reflete o fato de que, se
e
têm kernel trivial, então ambas são injetoras, e a composição de aplicações injetoras é injetora — daí o kernel da composição também é trivial.