Exercício 14. Sejam (U,+, \cdot),(V,+, \cdot),(W,+, \cdot) espaços vetoriais, T \in \mathcal{L}(U, V) e S \in \mathcal{L}(V, W), tais que \mathcal{N}(T)=\left\{O_{U}\right\} e N(S)=\left\{O_{V}\right\}. Mostre que \mathcal{N}(S \circ T)=\left\{O_{U}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Espaços vetoriais (U,+,\cdot), (V,+,\cdot), (W,+,\cdot).
  • Aplicações lineares T\in\mathcal{L}(U,V) e S\in\mathcal{L}(V,W).
  • Informação sobre núcleos:
    \mathcal{N}(T)=\left\{O_{U}\right\} (ou seja, o núcleo de T contém apenas o vetor zero de U).
    \mathcal{N}(S)=\left\{O_{V}\right\} (ou seja, o núcleo de S contém apenas o vetor zero de V).
O que precisamos mostrar:
  • Que \mathcal{N}(S\circ T)=\left\{O_{U}\right\}, isto é, que o núcleo da composição S\circ T também é apenas o vetor zero de U.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadinhas):
  • Núcleo (ou kernel) de uma aplicação linear L é
    \mathcal{N}(L)=\{x \mid L(x)=O\}.
    Aqui, por exemplo, \mathcal{N}(T)=\{u\in U \mid T(u)=O_{V}\}.
    Dizer que \mathcal{N}(T)=\{O_{U}\} significa: a única solução de T(u)=O_{V} é u=O_{U}.
  • Composição de aplicações: (S\circ T)(u)=S(T(u)) para todo u\in U.
  • Propriedade básica das aplicações lineares: toda aplicação linear leva o vetor zero ao vetor zero. Ou seja, T(O_{U})=O_{V} e S(O_{V})=O_{W}. (Prova rápida: T(O_{U})=T(O_{U}+O_{U})=T(O_{U})+T(O_{U}), subtraindo obtém-se T(O_{U})=O_{V}.)

Passo 3

Mostramos primeiro que \{O_{U}\}\subset \mathcal{N}(S\circ T).
Tomando O_{U}, aplicando S\circ T:
(S\circ T)(O_{U})=S\big(T(O_{U})\big).
Usando que T(O_{U})=O_{V} e S(O_{V})=O_{W}, obtemos
(S\circ T)(O_{U})=S(O_{V})=O_{W}.
Logo O_{U}\in\mathcal{N}(S\circ T). Portanto \{O_{U}\}\subset \mathcal{N}(S\circ T).

Passo 4

Agora mostramos a inclusão oposta \mathcal{N}(S\circ T)\subset\{O_{U}\}. Para isso, pegue um u\in\mathcal{N}(S\circ T). Pela definição de núcleo:
(S\circ T)(u)=O_{W}.
Isto é,
S\big(T(u)\big)=O_{W}.

Passo 5

Da igualdade S\big(T(u)\big)=O_{W} segue que T(u)\in\mathcal{N}(S), porque \mathcal{N}(S)=\{v\in V\mid S(v)=O_{W}\}. Mas pelo enunciado \mathcal{N}(S)=\{O_{V}\}, então necessariamente
T(u)=O_{V}.

Passo 6

Tendo T(u)=O_{V}, concluímos que u\in\mathcal{N}(T). Como \mathcal{N}(T)=\{O_{U}\} pelo enunciado, segue que
u=O_{U}.
Assim qualquer u\in\mathcal{N}(S\circ T) é igual a O_{U}, o que mostra \mathcal{N}(S\circ T)\subset\{O_{U}\}.

Passo 7

Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 6, obtemos igualdade:
\mathcal{N}(S\circ T)=\{O_{U}\}.
Comentário final (intuição): isto reflete o fato de que, se T e S têm kernel trivial, então ambas são injetoras, e a composição de aplicações injetoras é injetora — daí o kernel da composição também é trivial.

Resposta

\mathcal{N}(S \circ T)=\left\{O_{U}\right\}

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