Consideremos o seguinte produto interno em
:
, sendo
e
. Se
e
, determine o seguinte:
Passo 1
O enunciado nos dá um produto interno em
definido por
onde
e
. Foi fornecido o polinômio
A pergunta é: determine
.
Aqui estão as informações relevantes listadas claramente:
Aqui estão as informações relevantes listadas claramente:
- Produto interno:
. - Polinômio
com coeficientes que podemos ler do enunciado: . - O que se pede: a norma de
, isto é .
Passo 2
Primeiro, vou explicar a relação entre produto interno e norma (aula rápida e prática). Para qualquer vetor (aqui, polinômio)
em um espaço com produto interno, a norma induzida é definida por
Isto significa que, para calcular
, precisamos calcular
(ou seja, o produto interno de
consigo mesmo) e depois tirar a raiz quadrada. Cada símbolo aqui significa:
-
é a soma dos produtos dos coeficientes correspondentes de por si mesmos, segundo a definição dada. -
é a raiz quadrada desse valor.
Passo 3
Extraímos os coeficientes de
diretamente do enunciado (peguei esses valores do polinômio
):
Passo 4
Agora computamos
usando a fórmula do produto interno dada:
Substituindo os coeficientes:
Passo 5
Calculemos cada termo e somemos, mostrando as contas:
Portanto
Passo 6
Agora tiramos a raiz quadrada para obter a norma:
Para simplificar, fatoramos
, então