Consideremos o seguinte produto interno em P_{2} : \langle p, q\rangle=a_{2} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{0} b_{0}, sendo p=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} e q=b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}. Se p=2-3 x+5 x^{2} e q=7+5 x-4 x^{2}, determine o seguinte:
\|q\|

Passo 1

O enunciado nos dá um produto interno em P_{2} definido por
\langle p,q\rangle = a_{2}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{0}b_{0},
onde p=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} e q=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}. Foi fornecido o polinômio
q=7+5x-4x^{2}.
A pergunta é: determine \|q\|.
Aqui estão as informações relevantes listadas claramente:
  • Produto interno: \langle p,q\rangle = a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0}.
  • Polinômio q com coeficientes b_{2},b_{1},b_{0} que podemos ler do enunciado: q=7+5x-4x^{2}.
  • O que se pede: a norma de q, isto é \|q\|.

Passo 2

Primeiro, vou explicar a relação entre produto interno e norma (aula rápida e prática). Para qualquer vetor (aqui, polinômio) v em um espaço com produto interno, a norma induzida é definida por
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}.
Isto significa que, para calcular \|q\|, precisamos calcular \langle q,q\rangle (ou seja, o produto interno de q consigo mesmo) e depois tirar a raiz quadrada. Cada símbolo aqui significa:
  • \langle q,q\rangle é a soma dos produtos dos coeficientes correspondentes de q por si mesmos, segundo a definição dada.
  • \|q\| é a raiz quadrada desse valor.

Passo 3

Extraímos os coeficientes de q diretamente do enunciado (peguei esses valores do polinômio q=7+5x-4x^{2}):
b_{0}=7,\qquad b_{1}=5,\qquad b_{2}=-4.

Passo 4

Agora computamos \langle q,q\rangle usando a fórmula do produto interno dada:
\langle q,q\rangle = b_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{0}^{2}.
Substituindo os coeficientes:
\langle q,q\rangle = (-4)^{2} + 5^{2} + 7^{2}.

Passo 5

Calculemos cada termo e somemos, mostrando as contas:
(-4)^{2}=16,\qquad 5^{2}=25,\qquad 7^{2}=49.
Portanto
\langle q,q\rangle = 16 + 25 + 49 = 90.

Passo 6

Agora tiramos a raiz quadrada para obter a norma:
\|q\| = \sqrt{\langle q,q\rangle} = \sqrt{90}.
Para simplificar, fatoramos 90 = 9\cdot 10, então
\sqrt{90} = \sqrt{9\cdot 10} = 3\sqrt{10}.

Resposta

\|q\| = 3\sqrt{10}

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