Suponha que
e
são vetores l.i. em um espaço vetorial
. Mostre que
também é l.i. em
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são vetores linearmente independentes em um espaço vetorial
. Pede para mostrar que o conjunto
também é linearmente independente em
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
e são linearmente independentes. - Queremos provar linearidade independente de
.
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o que significa “linearmente independente” para dois vetores. Dizemos que dois vetores
e
são linearmente independentes se a única solução para a equação
é
e
. Aqui
é o vetor nulo de
, e
são escalares no corpo sobre o qual
está definido (por exemplo,
). Então, para provar que
é l.i., basta assumir uma combinação linear genérica igual a zero e mostrar que os coeficientes obrigatoriamente são zero.
Passo 3
Começamos supondo que existam escalares
e
tais que
Agora vamos desenvolver essa expressão somando os termos com
e os termos com
separadamente. Multiplicando e agrupando, obtemos
Agrupando os coeficientes de
e de
, isso fica
Passo 4
Aqui usamos a hipótese chave:
Expliquei: cada um desses números é o coeficiente do correspondente vetor
, e devem ser zero por causa da independência de
e
.]
Passo 5
Agora resolvemos o sistema para
e
. Da primeira equação vem
Substituindo esse valor na segunda equação:
Daí
. Pegando
segue
.
Passo 6
Encontramos que a única solução do sistema é
e
. Voltando à definição de linearidade independente (Passo 2), isso mostra que a única combinação linear de
e
que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Portanto
é linearmente independente.