Suponha que u e v são vetores l.i. em um espaço vetorial V. Mostre que \{u+2 v, u-3 v\} também é l.i. em V.

Passo 1

O enunciado dá que u e v são vetores linearmente independentes em um espaço vetorial V. Pede para mostrar que o conjunto \{u+2v,\;u-3v\} também é linearmente independente em V.\n
Informações relevantes dadas:
  • u e v são linearmente independentes.
  • Queremos provar linearidade independente de \{u+2v,\;u-3v\}.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, o que significa “linearmente independente” para dois vetores. Dizemos que dois vetores w_1 e w_2 são linearmente independentes se a única solução para a equação
\alpha w_1 + \beta w_2 = 0
é \alpha=0 e \beta=0. Aqui 0 é o vetor nulo de V, e \alpha,\beta são escalares no corpo sobre o qual V está definido (por exemplo, \mathbb{R}). Então, para provar que \{u+2v,\;u-3v\} é l.i., basta assumir uma combinação linear genérica igual a zero e mostrar que os coeficientes obrigatoriamente são zero.

Passo 3

Começamos supondo que existam escalares \alpha e \beta tais que
\alpha (u+2v) + \beta (u-3v) = 0.
Agora vamos desenvolver essa expressão somando os termos com u e os termos com v separadamente. Multiplicando e agrupando, obtemos
\alpha u + 2\alpha v + \beta u - 3\beta v = 0.
Agrupando os coeficientes de u e de v, isso fica
(\alpha + \beta)u + (2\alpha - 3\beta)v = 0.

Passo 4

Aqui usamos a hipótese chave: \{u,v\}\) é linearmente independente. Pela definição (veja Passo 2), se uma combinação \(\gamma u + \delta v = 0\) ocorre, então necessariamente \(\gamma=0\) e \(\delta=0\). Aplicando isso à combinação do Passo 3, obtemos o sistema de equações para os coeficientes: \[\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\[4pt] 2\alpha - 3\beta = 0. \end{cases}
Expliquei: cada um desses números é o coeficiente do correspondente vetor u\] ou \(v, e devem ser zero por causa da independência de u e v.]

Passo 5

Agora resolvemos o sistema para \alpha e \beta. Da primeira equação vem
\beta = -\alpha.
Substituindo esse valor na segunda equação:
2\alpha - 3(-\alpha) = 2\alpha + 3\alpha = 5\alpha = 0.
Daí \alpha = 0. Pegando \beta = -\alpha segue \beta = 0.

Passo 6

Encontramos que a única solução do sistema é \alpha=0 e \beta=0. Voltando à definição de linearidade independente (Passo 2), isso mostra que a única combinação linear de u+2v e u-3v que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Portanto \{u+2v,\;u-3v\} é linearmente independente.

Resposta

\{u+2v,\;u-3v\} é linearmente independente em V.

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