Consideremos o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias lineares
em que
(0,5 ponto) a) O fluxo de A é contrativo?
(1 ponto) b) Faça uma representação do espaço de fase da EDO.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
x'(t)=A,x(t),
com
A=-1 & 1-1 & -1
Precisamos (a) decidir se o fluxo é contrativo, ou seja, se as trajetórias se aproximam exponencialmente umas das outras, e (b) esboçar qualitativamente o retrato de fase no plano.
Passo 2
Para estudar estabilidade e contração, calculamos os autovalores de A. A equação característica é
Como ambos os autovalores têm parte real Re(lambda)=-1<0, o sistema é Hurwitz e todas as soluções decaem como e^-t. Em particular, para duas soluções x(t) e y(t) vale
|x(t)-y(t)|<= e^-t,|x(0)-y(0)|,
ou seja, o fluxo é contrativo.
Passo 4
Para entender o formato das trajetórias, note que autovalores complexos indicam espiral. O termo gera contração e o termo imaginário gera rotação. Para ver o sentido de rotação, avaliamos o campo em :
que aponta para baixo e para a esquerda, indicando rotação no sentido horário.
Passo 5
O retrato de fase é um espiral atraente centrado na origem, circulando no sentido horário e aproximando-se de (0,0). Por exemplo, a solução com x(0)=(1,0) é
x(t)=e^-tl(cos t,,-sin tr),
que descreve exatamente esse espiral.
Resposta
(a) Sim, o fluxo é contrativo pois os autovalores -1pm i têm parte real negativa.
(b) Retrato de fase: espiral atraente no sentido horário convergindo para a origem.