Consideremos o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias lineares
x^prime(t)=A x(t)
em que
A=(cc -1 & 1 -1 & -1 )
(0,5 ponto) a) O fluxo de A é contrativo?
(1 ponto) b) Faça uma representação do espaço de fase da EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x'(t)=A,x(t),
com
A=-1 & 1-1 & -1
Precisamos (a) decidir se o fluxo é contrativo, ou seja, se as trajetórias se aproximam exponencialmente umas das outras, e (b) esboçar qualitativamente o retrato de fase no plano.

Passo 2

Para estudar estabilidade e contração, calculamos os autovalores de A. A equação característica é
det(A-lambda I)=det-1-lambda & 1-1 & -1-lambda=( -1-lambda)^2+1=0
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lambda=-1pm i

Passo 3

Como ambos os autovalores têm parte real Re(lambda)=-1<0, o sistema é Hurwitz e todas as soluções decaem como e^-t. Em particular, para duas soluções x(t) e y(t) vale
|x(t)-y(t)|<= e^-t,|x(0)-y(0)|,
ou seja, o fluxo é contrativo.

Passo 4

Para entender o formato das trajetórias, note que autovalores complexos indicam espiral. O termo gera contração e o termo imaginário gera rotação. Para ver o sentido de rotação, avaliamos o campo em :
que aponta para baixo e para a esquerda, indicando rotação no sentido horário.

Passo 5

O retrato de fase é um espiral atraente centrado na origem, circulando no sentido horário e aproximando-se de (0,0). Por exemplo, a solução com x(0)=(1,0) é
x(t)=e^-tl(cos t,,-sin tr),
que descreve exatamente esse espiral.

Resposta

(a) Sim, o fluxo é contrativo pois os autovalores -1pm i têm parte real negativa.
(b) Retrato de fase: espiral atraente no sentido horário convergindo para a origem.

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