(1 ponto) a) Ache os autovalores e autovetores da matriz
A=(ll 3 & 4 1 & 3 )
(1,5 ponto) b) Ache x: R R^2 tal que x^prime(t)=A x(t), x(0)=(1,0).
(0,5 ponto) c) Faça uma representação do espaço de fase da EDO.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & 4 [6pt] 1 & 3,
o que é conteúdo de álgebra linear (polinômio característico e subespaços próprios);
b) resolver o sistema de EDO
x'(t) = A,x(t), x(0) = (1,0),
isto é, escrever a solução geral e impor a condição inicial;
c) desenhar qualitativamente o espaço de fase, que é um nó impróprio (já que os autovalores são reais e positivos).]

Passo 2

Para achar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det3-lambda & 4 [3pt] 1 & 3-lambda = (3-lambda)^2 - 4cdot1
Igualando a zero:
(3-lambda)^2 - 4 = 0 Longrightarrow (3-lambda) = pm 2
logo
lambda1 = 3+2 = 5, lambda2 = 3-2 = 1
]

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A - lambdai I)v=0.
1. Se lambda1=5:
A - 5I = -2 & 4 [3pt] 1 & -2,
da equação -2v1 + 4v2 = 0 vem v1 = 2v2. Um autovetor é
v^(1) = 2 1
2. Se lambda2=1:
A - I = 2 & 4 [3pt] 1 & 2,
da equação 2v1 + 4v2 = 0 vem v1 = -2v2. Um autovetor é
v^(2) = -2 1
]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções de cada autovalor:
Impondo
Isso gera o sistema
cuja solução é .

Passo 5

Substituindo os coeficientes, a solução particular é
x(t) = tfrac14 e^5t21 - tfrac14 e^t -21 = tfrac12,e^5t + tfrac12,e^t[4pt] tfrac14,e^5t - tfrac14,e^t
]

Passo 6

Como lambda1=5>0 e lambda2=1>0, a origem é um nó impróprio instável.
As direções próprias são as retas geradas por v^(1)=(2,1) e v^(2)=(-2,1).
Todo ponto afasta-se da origem ao longo de curvas que tendem à direção mais rápida ( v^(1)) quando tto+infty, e num início segue quase v^(2). As setas saem radiais nestas retas e as trajetórias são arcos curvados entre elas.

Resposta

a) Autovalores: lambda1=5, lambda2=1.
Autovetores: para lambda1=5, v^(1)=(2,1); para lambda2=1, v^(2)=(-2,1).
b)
x(t) = tfrac12,e^5t + tfrac12,e^t[4pt] tfrac14,e^5t - tfrac14,e^t
c) Espaço de fase: nó impróprio instável com eixos próprios ao longo de (2,1) e (-2,1), setas apontando para fora e trajetórias que se curvam do eixo mais lento ( lambda=1) para o mais rápido ( lambda=5).]

Exercícios relacionados