(1 ponto) a) Ache os autovalores e autovetores da matriz
(1,5 ponto) b) Ache x: R R^2 tal que x^prime(t)=A x(t), x(0)=(1,0).
(0,5 ponto) c) Faça uma representação do espaço de fase da EDO.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
a) encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & 4 [6pt] 1 & 3,
o que é conteúdo de álgebra linear (polinômio característico e subespaços próprios);
b) resolver o sistema de EDO
x'(t) = A,x(t), x(0) = (1,0),
isto é, escrever a solução geral e impor a condição inicial;
c) desenhar qualitativamente o espaço de fase, que é um nó impróprio (já que os autovalores são reais e positivos).]
Passo 2
Para achar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico:
Como lambda1=5>0 e lambda2=1>0, a origem é um nó impróprio instável.
As direções próprias são as retas geradas por v^(1)=(2,1) e v^(2)=(-2,1).
Todo ponto afasta-se da origem ao longo de curvas que tendem à direção mais rápida (v^(1)) quando tto+infty, e num início segue quase v^(2). As setas saem radiais nestas retas e as trajetórias são arcos curvados entre elas.
Resposta
a) Autovalores: lambda1=5, lambda2=1.
Autovetores: para lambda1=5, v^(1)=(2,1); para lambda2=1, v^(2)=(-2,1).
c) Espaço de fase: nó impróprio instável com eixos próprios ao longo de (2,1) e (-2,1), setas apontando para fora e trajetórias que se curvam do eixo mais lento (lambda=1) para o mais rápido (lambda=5).]