Exercício 1: Calcule as integrais abaixo.
integral-1^3 integral1 / 2^2 x+y-2 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integralx=-1^3integraly=tfrac12^2(x+y-2),dy,dx
sobre o retângulo R=[-1,3]times[tfrac12,2]. O conteúdo é aplicação do teorema de Fubini e integração iterada.

Passo 2

Primeiro integramos em y, tratando x como constante. Uma primitiv a respeito de y é
integral(x+y-2),dy = x,y+y^22-2y + C

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva de y=tfrac12 até y=2:
l[x,y+tfracy^22-2yr]y=tfrac12^y=2 = l(2x+2-!4r);-;l(tfracx2+tfrac18-1r) = 32x-98
Portanto a integral interna vira
integraltfrac12^2(x+y-2),dy =32x-98

Passo 4

Agora integramos em x de -1 a 3:
integral-1^3l(32x-98r),dx =l[34x^2-98xr]-1^3
Em x=3 isso vale
34cdot9-98cdot3=274-278=278,
e em x=-1 vale
34cdot1+98=34+98=158
A diferença é
278-158=128=32

Resposta

32

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