(1 ponto) Suponha que A e B in Mn(R) sejam atratores (hiperbólicos) e A B=B A. Mostre que A+B também é um atrator (hiperbólico).

Passo 1

O enunciado diz que A,Bin Mn(R) são atratores hiperbolicos e comutam ( AB=BA). Quero mostrar que A+B também é um atrator hiperbolico. Vamos precisar da definição de atrator hiperbolico (todos os autovalores têm parte real estritamente negativa) e do fato de que matrizes comutantes são simultaneamente triangularizáveis sobre C.

Passo 2

Por definição, uma matriz Min Mn(R) é um atrator hiperbolico se todo autovalor lambda de M satisfaz
Re(lambda)<0
Como A e B são atratores hiperbolicos, seus autovalores lambdai(A) e lambdai(B) obedecem
Rel(lambdai(A)r)<0 e Rel(lambdai(B)r)<0 para todo i

Passo 3

Como A e B comutam, existe uma base de C^n na qual ambas são triangulares superiores simultaneamente. Ou seja, em algum isomorfismo C^ncongC^n temos
A = lambda1(A)&*&cdots&* 0&lambda2(A)&cdots&* vdots&vdots&ddots&vdots 0&0&cdots&lambdan(A) , B = lambda1(B)&*&cdots&* 0&lambda2(B)&cdots&* vdots&vdots&ddots&vdots 0&0&cdots&lambdan(B)
Nessa mesma base,
A+B = lambda1(A)+lambda1(B)&*&cdots&* 0&lambda2(A)+lambda2(B)&cdots&* vdots&vdots&ddots&vdots 0&0&cdots&lambdan(A)+lambdan(B)
Logo os autovalores de A+B são precisamente
lambdai(A+B)=lambdai(A)+lambdai(B), i=1,dots,n

Passo 4

Para cada i,
Rel(lambdai(A+B)r) =Rel(lambdai(A)r) +Rel(lambdai(B)r) <0+0=0
Portanto todos os autovalores de A+B têm parte real estritamente negativa.
Pelo critério de atrator hiperbolico, A+B satisfaz a condição de ter todos os autovalores com Re(lambda)<0. Assim A+B é também um atrator hiperbolico.

Resposta

A+B é um atrator hiperbolico.

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