(1 ponto) Suponha que e sejam atratores (hiperbólicos) e . Mostre que também é um atrator (hiperbólico).
Passo 1
O enunciado diz que são atratores hiperbolicos e comutam (). Quero mostrar que também é um atrator hiperbolico. Vamos precisar da definição de atrator hiperbolico (todos os autovalores têm parte real estritamente negativa) e do fato de que matrizes comutantes são simultaneamente triangularizáveis sobre .
Passo 2
Por definição, uma matriz é um atrator hiperbolico se todo autovalor de satisfaz
Como e são atratores hiperbolicos, seus autovalores e obedecem
Passo 3
Como e comutam, existe uma base de na qual ambas são triangulares superiores simultaneamente. Ou seja, em algum isomorfismo temos
Portanto todos os autovalores de A+B têm parte real estritamente negativa.
Pelo critério de atrator hiperbolico, A+B satisfaz a condição de ter todos os autovalores com Re(lambda)<0. Assim A+B é também um atrator hiperbolico.