Consideremos uma situação formada por uma população de organismos zooplanctônicos. São colocadas em um béquer 6 fêmeas partenogenéticas grávidas (não há necessidade de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamado cladócero em condições ideais de alimentação, temperatura, aeração e iluminação e ausência de predadores. Sabendo-se que em 20 dias havia 480 individuos,/determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual (crescimento exponencial). (1,5)

Passo 1

A questão fala de uma população inicial de 6 fêmeas partenogenéticas que cresce até 480 indivíduos em 20 dias. O conteúdo é crescimento exponencial, onde a taxa de variação da população é proporcional ao tamanho atual.

Passo 2

O modelo matemático de crescimento exponencial é dado pela equação diferencial dPdt=kP. Ao separar variáveis e integrar, obtemos a solução geral P(t)=Ce^kt, onde C e k são constantes.

Passo 3

Para determinar C e k), usamos as condições: em t=0 temos P(0)=6, logo C=6. Em t=20, P(20)=480, então
6e^20k=480implies e^20k=80implies k=ln 8020

Passo 4

Substituindo C=6 e k=tfracln 8020 na solução geral, obtemos a expressão final para P(t).

Resposta

[ P(t)=6expl(ln 8020,tr)]

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