Seja
Determine o domínio e a imagem de
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Determine o domínio e a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \sqrt{25 - 9y^{2} - x^{2}} $.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções de duas variáveis e, nesse caso, funções que envolvem radiciação (raízes quadradas).
O que vamos precisar: Entender que, para a expressão dentro da raiz ser válida (isto é, a raiz quadrada de um número real não negativo), a expressão $ 25 - 9y^{2} - x^{2} $ deve ser maior ou igual a zero. Isso vai nos ajudar a encontrar o domínio. Depois, vamos usar esse domínio para descobrir a imagem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função $ f(x, y) $. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Passo a passo:
- Condição para a raiz quadrada ser real: A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
- Rearranjando a inequação:
- Dividindo ambos os lados por 25 para facilitar a interpretação:
- Simplificando as frações:
Interpretação geométrica: Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo $ a = 5 $ na direção do eixo $ x $ e semi-eixo $ b = \frac{5}{3} $ na direção do eixo $ y $.
Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pares
que satisfazem a inequação acima, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função $ f(x, y) $, que é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir.
Passo a passo:
- Expressão da função:
- Analisando os valores possíveis dentro da raiz:
Sabemos que $ 25 - 9y^{2} - x^{2} \geq 0 $ devido ao domínio.
- A função raiz quadrada retorna valores não negativos:
- O valor máximo ocorre quando $ 9y^{2} + x^{2} = 0 $, ou seja, quando $ y = 0 $ e $ x = 0 $:
- O valor mínimo é 0, que ocorre quando $ 9y^{2} + x^{2} = 25 $:
Portanto, a imagem da função é o conjunto de valores entre 0 e 5, inclusive:
Resposta
Domínio:
Imagem: