Seja f(x, y)=raiz25-9 y^2-x^2
Determine o domínio e a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função $ f(x, y) = \sqrt{25 - 9y^{2} - x^{2}} $.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções de duas variáveis e, nesse caso, funções que envolvem radiciação (raízes quadradas).
O que vamos precisar: Entender que, para a expressão dentro da raiz ser válida (isto é, a raiz quadrada de um número real não negativo), a expressão $ 25 - 9y^{2} - x^{2} $ deve ser maior ou igual a zero. Isso vai nos ajudar a encontrar o domínio. Depois, vamos usar esse domínio para descobrir a imagem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função $ f(x, y) $. O domínio é o conjunto de todos os pares f(x, y) para os quais a função está definida.
Passo a passo:
  1. Condição para a raiz quadrada ser real: A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
(x, y)
  1. Rearranjando a inequação:
25 - 9y^2 - x^2 >= 0
  1. Dividindo ambos os lados por 25 para facilitar a interpretação:
9y^2 + x^2 <= 25
  1. Simplificando as frações:
9y^225 + x^225 <= 1
Interpretação geométrica: Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo $ a = 5 $ na direção do eixo $ x $ e semi-eixo $ b = \frac{5}{3} $ na direção do eixo $ y $.
Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pares y^2(53)^2 + x^25^2 <= 1 que satisfazem a inequação acima, ou seja:
a = 5

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função $ f(x, y) $, que é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir.
Passo a passo:
  1. Expressão da função:
f(x, y)
  1. Analisando os valores possíveis dentro da raiz:
Sabemos que $ 25 - 9y^{2} - x^{2} \geq 0 $ devido ao domínio.
  1. A função raiz quadrada retorna valores não negativos:
f(x, y)
  1. O valor máximo ocorre quando $ 9y^{2} + x^{2} = 0 $, ou seja, quando $ y = 0 $ e $ x = 0 $:
f(x, y) = raiz25 - 9y^2 - x^2
  1. O valor mínimo é 0, que ocorre quando $ 9y^{2} + x^{2} = 25 $:
25 - 9y^2 - x^2 >= 0
Portanto, a imagem da função é o conjunto de valores entre 0 e 5, inclusive:
f(x, y) >= 0

Resposta

Domínio:
D = (x, y) in R^2 g| x^225 + y^2(53)^2 <= 1
Imagem:
I = [0, 5]

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