Consideremos os três vectores A=i, B=i+j, C=i+j+3 k em V3. (b) Exprimir cada um dos vectores i ou k como uma combinação linear de A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em V3:
A = i, B = i + j, C = i + j + 3,k,
e pede para escrever cada um dos vetores da base i,j,k como combinação linear de A,B,C. Vamos achar coeficientes alpha,beta,gamma tais que, por exemplo,
i = alpha,A + beta,B + gamma,C,
e o mesmo para j e k.

Passo 2

Como A = i, fica imediatamente
i = 1cdot A + 0cdot B + 0cdot C

Passo 3

Para obter j, observamos que
B = i + j
e como i=A, temos
B = A + j Longrightarrow j = B - A
Isto é,
j = (-1),A + 1,B + 0,C

Passo 4

Para k, partimos de
C = i + j + 3,k = A + (B - A) + 3,k = B + 3,k
Logo
3,k = C - B Longrightarrow k = tfrac13,C - tfrac13,B
Em termos de A,B,C:
k = 0cdot A + l(-tfrac13r),B + tfrac13,C

Resposta

i = 1,A + 0,B + 0,C
j = -1,A + 1,B + 0,C
k = 0,A - tfrac13,B + tfrac13,C

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