Seja A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1) e C=(1,1,0,0) três vectores de V4. (a) Determinar se A, B, C são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

Temos três vetores em R^4:
A = (1,1,1,0), B = (0,1,1,1), C = (1,1,0,0)
O conteúdo da matéria aqui é definição de independência linear: precisamos ver se a única solução da combinação linear nula
alpha A + beta B + gamma C = 0
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear
alpha(1,1,1,0) + beta(0,1,1,1) + gamma(1,1,0,0) = (0,0,0,0)
Isso gera um sistema homogêneo nas incógnitas alpha,beta,gamma.

Passo 3

Fazendo a soma coordenada a coordenada, obtemos
alpha + 0beta + gamma = 0, alpha + beta + gamma = 0, alpha + beta + 0gamma = 0, 0alpha + beta + 0gamma = 0

Passo 4

Da quarta equação beta = 0. Substituindo na terceira, alpha + 0 = 0 alpha=0. Da primeira vem alpha+gamma=0 logo gamma=0. Portanto a única solução é
alpha=beta=gamma=0

Resposta

Os vetores A, B e C são linearmente independentes.

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