Sejam
e
dois vectores não nulos de
. (b)
e
não são paralelos, provar que
e
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado considera dois vetores não nulos
e
em um espaço vetorial
e assume que eles não são paralelos, ou seja, não existe escalar
tal que
. Queremos mostrar que
e
são linearmente independentes, ou seja, que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial:
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear qualquer que zere os vetores:
Se
, podemos isolar
:
o que mostra que
é múltiplo escalar de
, isto é, eles seriam paralelos. Mas isso contradiz a hipótese de não paralelismo. Logo, não pode ocorrer
; devemos ter
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Como
é um vetor não nulo por hipótese, a única maneira de um múltiplo escalar
ser o vetor nulo é ter
Assim,
e
são as únicas soluções.
Resposta
Portanto, qualquer combinação linear que zere
e
é a trivial, o que prova que
e
são linearmente independentes.