Sejam A e B dois vectores não nulos de Vn. (b) Se A e B não são paralelos, provar que A e B são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado considera dois vetores não nulos A e B em um espaço vetorial Vn e assume que eles não são paralelos, ou seja, não existe escalar lambda tal que A=lambda B. Queremos mostrar que A e B são linearmente independentes, ou seja, que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial:
alpha A + beta B = 0 implies alpha = 0 e beta = 0

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear qualquer que zere os vetores:
alpha A + beta B = 0
Se alphaneq 0, podemos isolar A:
A = -betaalpha,B,
o que mostra que A é múltiplo escalar de B, isto é, eles seriam paralelos. Mas isso contradiz a hipótese de não paralelismo. Logo, não pode ocorrer alphaneq 0; devemos ter
alpha = 0

Passo 3

Substituindo alpha=0 em alpha A + beta B = 0 obtemos
beta B = 0
Como B é um vetor não nulo por hipótese, a única maneira de um múltiplo escalar beta B ser o vetor nulo é ter
beta = 0
Assim, alpha=0 e beta=0 são as únicas soluções.

Resposta

Portanto, qualquer combinação linear que zere A e B é a trivial, o que prova que A e B são linearmente independentes.

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