Prove que retas paralelas disttintas, secantes a uma circunferência, determinam na circunferência, entre as paralelas, arcos de mesma medida.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas distintas r e s que são secantes de uma mesma circunferência. Cada reta corta a circunferência em dois pontos; chamemos de A,B os pontos de interseção de r com a circunferência e de C,D os pontos de interseção de s com a circunferência.
A pergunta é: mostrar que os arcos da circunferência situados “entre” as paralelas têm a mesma medida. Em termos concretos, tomando a ordem dos pontos ao redor da circunferência como A,B,C,D (ou, de forma equivalente, o arranjo que coloca A,B numa reta paralela a C,D), devemos provar que os arcos entre as retas paralelas são iguais. Uma maneira clara de escrever a conclusão que queremos é provar que
\text{med}(\widehat{BC}) = \text{med}(\widehat{DA}).

Passo 2

Vamos recordar e explicar duas propriedades fundamentais que usaremos (sem pular etapas):
  1. Teorema do ângulo inscrito: um ângulo inscrito em uma circunferência mede metade da medida do arco que ele intercepta. Se um ângulo inscrito tem vértice em X e lados passando por Y e Z, então
\angle YXZ = \tfrac12\\ \text{med}(\widehat{YZ}),
onde \text{med}(\widehat{YZ}) é a medida do arco da circunferência cujo extremos são Y e Z e que não contém X.
  1. Propriedade de quadrilátero cíclico: num quadrilátero inscrito numa circunferência (ou seja, com os quatro vértices na circunferência), ângulos opostos são suplementares; isto é, se os vértices na ordem são W,X,Y,Z, então
\angle W + \angle Y = 180^\circ \quad\text{e}\quad \angle X + \angle Z = 180^\circ.
Vou usar estas duas propriedades explicitando o que cada símbolo significa quando necessário, porque sei que você prefere passo a passo.

Passo 3

Organizamos os pontos no círculo de modo conveniente. Colocamos os pontos de interseção de r com a circunferência como A e B, e os de s como C e D. Tomamos a enumeração ao redor da circunferência como A\to B\to C\to D\to A (isto corresponde à situação em que AB e CD são os “trechos” das retas paralelas dentro da circunferência, um em cima do outro). Note: a prova funciona para qualquer disposição circular consistente, só muda a notação dos arcos; a ideia é a mesma.
Os quatro pontos A,B,C,D estão todos na mesma circunferência, então o quadrilátero ABCD é cíclico (ou seja, um quadrilátero inscrito).

Passo 4

Usamos a paralelismo das retas: AB (o segmento dentro da circunferência sobre a reta r) é paralelo a CD (o segmento sobre a reta s), pois as retas r e s são paralelas. A partir daqui, olhe os ângulos formados pelos lados do quadrilátero:
Considere o ângulo no vértice A, que é o ângulo formado pelos segmentos AB e AD; e o ângulo no vértice D, formado por DC e DA. Porque AB é paralelo a DC, o ângulo entre AB e AD é igual ao ângulo entre DC e DA. Logo
\angle A = \angle D.
(Isto é uma aplicação direta da ideia de ângulos formados por uma reta e uma transversal: se duas retas são paralelas, o ângulo entre a primeira e uma transversal é igual ao ângulo entre a segunda e a mesma transversal.)

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do quadrilátero cíclico: como ABCD é cíclico, ângulos opostos são suplementares. Assim
\angle A + \angle C = 180^\circ \quad\text{e}\quad \angle B + \angle D = 180^\circ.
Mas do Passo 4 sabemos que \angle A = \angle D. Substituindo \angle D por \angle A na segunda igualdade obtemos
\angle B + \angle A = 180^\circ.
Comparando com a primeira igualdade \angle A + \angle C = 180^\circ, concluímos que
\angle B = \angle C.

Passo 6

Agora interpretamos esses ângulos em termos de arcos, usando o teorema do ângulo inscrito (Passo 2). O ângulo inscrito em B intercepta o arco \widehat{ADC} (o arco oposto ao vértice B), e o ângulo inscrito em C intercepta o arco \widehat{BAD}. Pelo teorema do ângulo inscrito:
\angle B = \tfrac12\\ \text{med}(\widehat{ADC}) \quad\text{e}\quad \angle C = \tfrac12\\ \text{med}(\widehat{BAD}).
Como \angle B = \angle C (Passo 5), multiplicando por 2 segue que
\text{med}(\widehat{ADC}) = \text{med}(\widehat{BAD}).

Passo 7

Escrevemos as medidas dos arcos envolvidos como soma de arcos menores para isolar os arcos que queremos comparar. Note que
\text{med}(\widehat{ADC}) = \text{med}(\widehat{AD}) + \text{med}(\widehat{DC})
e
\text{med}(\widehat{BAD}) = \text{med}(\widehat{BA}) + \text{med}(\widehat{AD}).
Da igualdade do Passo 6 temos
\text{med}(\widehat{AD}) + \text{med}(\widehat{DC}) = \text{med}(\widehat{BA}) + \text{med}(\widehat{AD}).
Cancelando \text{med}(\widehat{AD}) em ambos os lados obtemos
\text{med}(\widehat{DC}) = \text{med}(\widehat{BA}).
Isto diz que os arcos subtendidos pelos segmentos das paralelas dentro do círculo são iguais: \text{med}(\widehat{CD}) = \text{med}(\widehat{AB}).

Passo 8

Por fim, somando as quatro medidas dos arcos ao redor da circunferência temos 360^\circ:
\text{med}(\widehat{AB}) + \text{med}(\widehat{BC}) + \text{med}(\widehat{CD}) + \text{med}(\widehat{DA}) = 360^\circ.
Como \text{med}(\widehat{CD}) = \text{med}(\widehat{AB}) pelo Passo 7, podemos cancelar essas partes da soma e concluir que
\text{med}(\widehat{BC}) = \text{med}(\widehat{DA}).
Mas \widehat{BC} e \widehat{DA} são exatamente os arcos da circunferência que ficam “entre” as retas paralelas r e s. Portanto, esses arcos têm a mesma medida, que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\text{med}(\widehat{BC})=\text{med}(\widehat{DA})

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