Prove que retas paralelas disttintas, secantes a uma circunferência, determinam na circunferência, entre as paralelas, arcos de mesma medida.
Passo 1
O enunciado dá duas retas paralelas distintas
e
que são secantes de uma mesma circunferência. Cada reta corta a circunferência em dois pontos; chamemos de
os pontos de interseção de
com a circunferência e de
os pontos de interseção de
com a circunferência.
A pergunta é: mostrar que os arcos da circunferência situados “entre” as paralelas têm a mesma medida. Em termos concretos, tomando a ordem dos pontos ao redor da circunferência como (ou, de forma equivalente, o arranjo que coloca
numa reta paralela a
), devemos provar que os arcos entre as retas paralelas são iguais. Uma maneira clara de escrever a conclusão que queremos é provar que
A pergunta é: mostrar que os arcos da circunferência situados “entre” as paralelas têm a mesma medida. Em termos concretos, tomando a ordem dos pontos ao redor da circunferência como
Passo 2
Vamos recordar e explicar duas propriedades fundamentais que usaremos (sem pular etapas):
- Teorema do ângulo inscrito: um ângulo inscrito em uma circunferência mede metade da medida do arco que ele intercepta. Se um ângulo inscrito tem vértice em
e lados passando por e , então
onde
é a medida do arco da circunferência cujo extremos são
e
e que não contém
.
- Propriedade de quadrilátero cíclico: num quadrilátero inscrito numa circunferência (ou seja, com os quatro vértices na circunferência), ângulos opostos são suplementares; isto é, se os vértices na ordem são
, então
Vou usar estas duas propriedades explicitando o que cada símbolo significa quando necessário, porque sei que você prefere passo a passo.
Passo 3
Organizamos os pontos no círculo de modo conveniente. Colocamos os pontos de interseção de
com a circunferência como
e
, e os de
como
e
. Tomamos a enumeração ao redor da circunferência como
(isto corresponde à situação em que
e
são os “trechos” das retas paralelas dentro da circunferência, um em cima do outro). Note: a prova funciona para qualquer disposição circular consistente, só muda a notação dos arcos; a ideia é a mesma.
Os quatro pontos
estão todos na mesma circunferência, então o quadrilátero
é cíclico (ou seja, um quadrilátero inscrito).
Passo 4
Usamos a paralelismo das retas:
(o segmento dentro da circunferência sobre a reta
) é paralelo a
(o segmento sobre a reta
), pois as retas
e
são paralelas. A partir daqui, olhe os ângulos formados pelos lados do quadrilátero:
Considere o ângulo no vértice
, que é o ângulo formado pelos segmentos
e
; e o ângulo no vértice
, formado por
e
. Porque
é paralelo a
, o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Logo
(Isto é uma aplicação direta da ideia de ângulos formados por uma reta e uma transversal: se duas retas são paralelas, o ângulo entre a primeira e uma transversal é igual ao ângulo entre a segunda e a mesma transversal.)
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do quadrilátero cíclico: como
é cíclico, ângulos opostos são suplementares. Assim
Mas do Passo 4 sabemos que
. Substituindo
por
na segunda igualdade obtemos
Comparando com a primeira igualdade
, concluímos que
Passo 6
Agora interpretamos esses ângulos em termos de arcos, usando o teorema do ângulo inscrito (Passo 2). O ângulo inscrito em
intercepta o arco
(o arco oposto ao vértice
), e o ângulo inscrito em
intercepta o arco
. Pelo teorema do ângulo inscrito:
Como
(Passo 5), multiplicando por 2 segue que
Passo 7
Escrevemos as medidas dos arcos envolvidos como soma de arcos menores para isolar os arcos que queremos comparar. Note que
e
Da igualdade do Passo 6 temos
Cancelando
em ambos os lados obtemos
Isto diz que os arcos subtendidos pelos segmentos das paralelas dentro do círculo são iguais:
.
Passo 8
Por fim, somando as quatro medidas dos arcos ao redor da circunferência temos
:
Como
pelo Passo 7, podemos cancelar essas partes da soma e concluir que
Mas
e
são exatamente os arcos da circunferência que ficam “entre” as retas paralelas
e
. Portanto, esses arcos têm a mesma medida, que era o que queríamos demonstrar.