Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo r0, e resfriado no raio interno ri, com uma geração uniforme de calor q(W / m^3) na parede.
Determine a solução geral da distribuição de temperatura no tubo.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um tubo longo e sólido, com raio interno (onde ele está sendo resfriado) e raio externo (totalmente isolado, ou seja, sem troca de calor aí). Dentro da parede do tubo rola uma geração uniforme de calor [W/m³]. A matéria aqui é condução de calor em regime estacionário, usando coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar da equação diferencial de condução radial com geração interna e da lei de Fourier.

Passo 2

Escrevendo a equação de energia em regime estacionário, sem dependência de ângulo nem de 1r,ddr!l(r,k,dTdrr) + q = 0 , e com condutividade 1r,ddr!l(r,dTdrr) + qk = 0 constante, temos:
Como é constante, simplifica para

Passo 3

Multiplicando tudo por ddr!l(r,dTdrr) = -qk,r :
r,dTdr = -qk,r^22 + C1,
Agora integramos em relação a :
onde é uma constante de integração.

Passo 4

Isolando dTdr = -q2k,r + C1r Longrightarrow T(r) = -q4k,r^2 + C1ln r + C2, e integrando de novo:
sendo outra constante de integração. Essa é a forma geral da solução.

Resposta

T(r) ;=; -q4,k,r^2 ;+; C1,ln r ;+; C2,
onde e são determinadas pelas condições de contorno (isolamento em e resfriamento em ).

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