Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo , e resfriado no raio interno , com uma geração uniforme de calor na parede.
Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível na superfície isolada ( ). Identificar esta temperatura como e determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um tubo longo e compacto com geração de calor volumétrica uniforme . O tubo é resfriado por dentro (raio interno ) e é isolado por fora (raio externo ). A gente quer achar a temperatura máxima admissível na superfície isolada, que chamamos de .
O que vamos usar:
• A equação da condução em regime permanente, coordenadas cilíndricas sem variação axial nem angular
• A solução geral dessa equação é
• Precisamos de duas condições de contorno para determinar e .
Passo 2
Na teoria de condução, cada condição de contorno vira uma equação para os . Aqui cai redondo:
Condição de Dirichlet (temperatura fixa) no interior, já que o tubo é resfriado por dentro:onde é a temperatura mantida pelo fluido de resfriamento (supondo que ela seja conhecida).
Condição de Neumann (fluxo nulo) no exterior, pois está isolado térmicamente. Como o fluxo radial é“isolado” significa , logo
Passo 3
Por fim, a gente define que a temperatura máxima admissível na superfície externa isolada é justamente
T0 ;=; T(r0)
Isso não é uma condição de contorno extra (já usamos duas), mas sim a forma de “batizar” o valor que a solução vai dar em .
Resposta
Condições de contorno para achar T(ri) = Ti e dTdr|r0 = 0 :
Dirichlet no interior: T0 ;=; T(r0)
Neumann no exterior (isolamento):
E a temperatura máxima admissível na parede isolada fica definida por