Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo r0, e resfriado no raio interno ri, com uma geração uniforme de calor q(W / m^3) na parede.
Numa certa aplicação, há um limite na temperatura máxima admissível na superfície isolada ( r=r0 ). Identificar esta temperatura como T0 e determinar as condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um tubo longo e compacto com geração de calor volumétrica uniforme 1rddr!l(rdTdrr) + qk ;=; 0 . O tubo é resfriado por dentro (raio interno T(r) ;=; -q,r^24,k ;+; C1ln r ;+; C2 ) e é isolado por fora (raio externo ). A gente quer achar a temperatura máxima admissível na superfície isolada, que chamamos de .
O que vamos usar:
• A equação da condução em regime permanente, coordenadas cilíndricas sem variação axial nem angular
• A solução geral dessa equação é
• Precisamos de duas condições de contorno para determinar e .

Passo 2

Na teoria de condução, cada condição de contorno vira uma equação para os T(ri) ;=; Ti . Aqui cai redondo:
  1. Condição de Dirichlet (temperatura fixa) no interior, já que o tubo é resfriado por dentro: qr ;=; -,k,dTdr, onde dTdr|r0 ;=; 0 é a temperatura mantida pelo fluido de resfriamento (supondo que ela seja conhecida).
  2. Condição de Neumann (fluxo nulo) no exterior, pois está isolado térmicamente. Como o fluxo radial é “isolado” significa , logo

Passo 3

Por fim, a gente define que a temperatura máxima admissível na superfície externa isolada é justamente
T0 ;=; T(r0)
Isso não é uma condição de contorno extra (já usamos duas), mas sim a forma de “batizar” o valor que a solução vai dar em .

Resposta

Condições de contorno para achar T(ri) = Ti e dTdr|r0 = 0 :
  1. Dirichlet no interior: T0 ;=; T(r0)
  2. Neumann no exterior (isolamento):
E a temperatura máxima admissível na parede isolada fica definida por

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