Consideremos um tubo comprido, sólido, com um isolamento no raio externo r0, e resfriado no raio interno ri, com uma geração uniforme de calor q(W / m^3) na parede.
Sendo Disponível um refrigerante na temperatura Tinfty, deduzir uma expressão para o coeficiente de convecção que teria que existir na superfície interna a fim de ser possível a operação na temperatura T0 com a taxa de geração q.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tubo comprido, sólido, com raio interno e raio externo . No volume do tubo ocorre geração uniforme de calor à razão (W/m³). A parede externa está isolada (não perde calor) e, na superfície interna ( ), o tubo troca calor por convecção com um fluido a . Queremos achar o coeficiente de convecção na superfície interna para que a temperatura ali seja exatamente .
Conteúdo da matéria: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração interna e condição de contorno convectiva. Vamos precisar da equação diferencial de condução em regime estacionário, das condições de contorno e da lei de Fourier + lei de Newton do resfriamento.

Passo 2

Escrevendo a equação de condução estacionária em coordenadas cilíndricas (dependendo só de 1r,ddr!l(r,dTdrr);+;qk;=;0 ) com geração interna ddr!l(r,T'r)=-qk,r ;;Longrightarrow;; r,dTdr=-q2k,r^2 + C1 :
dTdr=-q2k,r + C1r Longrightarrow T(r)=-q4k,r^2 + C1ln r + C2
Para resolver, multiplicamos tudo por e integramos:
Dividindo por e integrando de novo:

Passo 3

Agora aplicamos as condições de contorno:
  1. Na superfície externa dTdr|r0=0 ;Longrightarrow; -q2k,r0 + C1r0=0 ;Longrightarrow; C1=q,r0^22k está isolada, então o fluxo lá é zero:
  1. Na superfície interna a temperatura precisa ser . Vamos usar isso depois para verificar, mas o que interessa mesmo para achar é o fluxo de calor que chega lá.

Passo 4

O fluxo de calor conduzido para a superfície interna é dado pela lei de Fourier:
q''!cond=-,k,dTdr|ri
Calculando dTdr|ri =-q2k,ri ;+;C1ri =-q2k,ri + 1ri,q,r0^22k =q,(r0^2 - ri^2)2k,ri em q''!cond =k;q,(r0^2 - ri^2)2k,ri =q,(r0^2 - ri^2)2,ri :
q''!cond =;q''!conv =;h,l(T0 - Tinftyr)
Logo, o fluxo conduzido (em módulo) é
Na superfície interna esse calor deve ser removido por convecção, ou seja
Então basta igualar e isolar .

Resposta

boxed,h ;=;q,l(r0^2 - ri^2r)2,ri,l(T0 - Tinftyr),

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