Consideremos v_{1}=(1,-3,2) e v_{2}=(2,4,-1) vetores de \mathbb{R}^{3}.
(a) Escreva u=(-4,-18,7) como combinação linear dos vetores v_{1} e v_{2}.
(b) Mostre que v=(4,3,-6) não é combinação linear dos vetores v_{1} e v_{2}.
(c) Determine uma condição para x, y e z de modo que ( x, y, z ) seja combinação linear dos vetores v_{1} e v_{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores em \mathbb{R}^3v_{1}=(1,-3,2), \quad v_{2}=(2,4,-1)
e pede:
(a) escrever u=(-4,-18,7) como combinação linear de v_{1} e v_{2};
(b) mostrar que v=(4,3,-6) não é combinação linear de v_{1} e v_{2};
(c) achar uma condição em x,y,z para que (x,y,z) seja combinação linear de v_{1} e v_{2}.
O método é montar o sistema \alpha v_{1}+\beta v_{2}=(\dots) e resolver ou verificar consistência.
Passo 2
Para (a) buscamos \alpha,\beta\) tais que
\[\alpha(1,-3,2)+\beta(2,4,-1)=(-4,-18,7).
Da primeira equação \alpha=-4-2\beta\]. Substituindo na terceira:
\[2(-4-2\beta)-\beta=7 \implies -8-5\beta=7 \implies \beta=-3,\]
logo \(\alpha=-4-2(-3)=2. Verificando na segunda equação: -3\cdot2+4\cdot(-3)=-6-12=-18, bate. Portanto
u=2\,v_{1}-3\,v_{2}.
Passo 3
Para (b) montamos o mesmo sistema para (4,3,-6)\):
\[\begin{cases} \alpha+2\beta=4,\\\\ -3\alpha+4\beta=3,\\\\ 2\alpha-\beta=-6. \end{cases}
Da primeira \alpha=4-2\beta\]. Na terceira:
\[2(4-2\beta)-\beta=-6 \implies 8-5\beta=-6 \implies \beta=\tfrac{14}{5}, \quad \alpha=4-2\cdot\tfrac{14}{5}=-\tfrac{8}{5}.\]
Mas na segunda \(-3\alpha+4\beta=-3(-\tfrac{8}{5})+4\cdot\tfrac{14}{5}=16\neq3. Sistema inconsistente, logo não há \alpha,\beta.
Passo 4
Para (c) seja (x,y,z)=\alpha v_{1}+\beta v_{2}\). O sistema é
\[\begin{cases} \alpha+2\beta=x,\\\\ -3\alpha+4\beta=y,\\\\ 2\alpha-\beta=z. \end{cases}
Da primeira (\alpha=x-2\beta]. Na segunda: -3(x-2\beta)+4\beta=y \implies 10\beta=y+3x \implies \beta=\frac{y+3x}{10},
e \alpha=x-2\cdot\frac{y+3x}{10} =\frac{2x-y}{5}.
Passo 5
Para que exista solução, a terceira equação deve se satisfazer com esses valores:
(a) u=2\,v_{1}-3\,v_{2}.
(b) Não é combinação linear porque o sistema fica inconsistente.
(c) (x,y,z) é combinação linear de v_{1},v_{2} se, e somente se,