Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de \mathbf{M}(2,2) ? Justifique.
W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in \mathbf{M}(2,2) \right\rvert\, a=c\right. e \left.b+d=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in \mathbf{M}(2,2)\mid a=c\text{ e }b+d=0\right\}
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de \mathbf{M}(2,2). Para isso usamos o critério de subespaço: mostrar que W\neq\varnothing, que é fechado em soma e fechado em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio, pois a matriz zero pertence a W. De fato, para
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
temos a=c=0 e b+d=0+0=0, logo O\in W.

Passo 3

Mostramos a clausura em soma. Sejam
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & d_1\end{pmatrix}\in W,\quad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}\in W
então a_1=c_1, b_1+d_1=0, a_2=c_2 e b_2+d_2=0. Sua soma é
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Como a_1=c_1 e a_2=c_2 segue a_1+a_2 = c_1+c_2 e
(b_1+b_2)+(d_1+d_2)=(b_1+d_1)+(b_2+d_2)=0+0=0.
Portanto A+B satisfaz as condições de W, ou seja A+B\in W.

Passo 4

Mostramos a clausura em multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{K} e
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
com a=c e b+d=0. Então
\lambda A =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}
satisfaz \lambda a = \lambda c e
(\lambda b)+(\lambda d)=\lambda(b+d)=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda A\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbf{M}(2,2).

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