Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de \mathbf{M}(2,2) ? Justifique. W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in \mathbf{M}(2,2) \right\rvert\, a+d \leq b+c\right\}.
Passo 1
O enunciado define
W = \left\{\left.\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in \mathbf{M}(2,2)\;\right|\;a+d \le b+c\right\}
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de \mathbf{M}(2,2). Para isso, usamos a definição: um subconjunto é subespaço se satisfaz (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero: para a matriz zero \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} temos
a+d = 0+0 = 0,\quad b+c = 0+0 = 0,
logo 0\le0 e a matriz zero pertence a W.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1&b_1\c_1&d_1\end{pmatrix} e \displaystyle B=\begin{pmatrix}a_2&b_2\c_2&d_2\end{pmatrix} em W. Então
a_1+d_1 \le b_1+c_1,\qquad a_2+d_2 \le b_2+c_2.
Somando as duas desigualdades segue
(a_1+a_2)+(d_1+d_2)\;\le\;(b_1+b_2)+(c_1+c_2),
ou seja, A+B satisfaz a condição de W e portanto A+B\in W.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: escolha \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix}. Aqui
a+d = 1+0 =1,\quad b+c = 2+0=2,
então 1\le2 e A\in W. Agora multiplique por -1:
-1\cdot A = \begin{pmatrix}-1&-2\\\ 0&0\end{pmatrix},
para o qual
a+d = -1+0 = -1,\quad b+c = -2+0 = -2,
mas -1\le -2 é falso. Logo -A\notin W, mostrando que W não é fechado sob escalar arbitrário.