Determine em quais pontos as funções
abaixo têm derivadas, e escreva a função
:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Temos duas funções definidas por partes. Queremos descobrir em que pontos cada uma é derivável e achar a fórmula de
. O conteúdo envolve derivabilidade de polinômios nos ramos e checagem de continuidade e derivabilidade nos pontos de junção.
Passo 2
Para o item (a), em cada ramo (
e
) temos funções polinomiais (
e
), que são deriváveis em todo seu domínio. Logo, para
vale
e para
vale
. Ainda no item (a), precisamos verificar o ponto de junção
. Primeiro conferimos continuidade:
Passo 3
Como os limites laterais são iguais e iguais a
, a função é contínua em
. Agora as derivadas laterais:
Elas coincidem, então
Passo 4
No item (b), para
temos a reta
, que é derivável em todo
e tem
. Em
, observamos que
logo a função não é contínua em
Resposta
(a) f é derivável em todo
, com
(b) f é derivável apenas para
, com
e não é derivável em
porque falta continuidade.