Determine em quais pontos as funções f abaixo têm derivadas, e escreva a função f^prime :
(a) f(x)= x^2+3 x, & se x >= 1 5 x-1, & se x<1
(b) f(x)=l-x+3, se x neq 1 3, se x=1.

Passo 1

Temos duas funções definidas por partes. Queremos descobrir em que pontos cada uma é derivável e achar a fórmula de f'. O conteúdo envolve derivabilidade de polinômios nos ramos e checagem de continuidade e derivabilidade nos pontos de junção.

Passo 2

Para o item (a), em cada ramo ( x>1 e x<1) temos funções polinomiais ( x^2+3x e 5x-1), que são deriváveis em todo seu domínio. Logo, para x>1 vale f'(x)=2x+3 e para x<1 vale f'(x)=5. Ainda no item (a), precisamos verificar o ponto de junção x=1. Primeiro conferimos continuidade:
limxto1^-f(x)=5cdot1-1=4, limxto1^+f(x)=1^2+3cdot1=4, f(1)=4

Passo 3

Como os limites laterais são iguais e iguais a f(1), a função é contínua em x=1. Agora as derivadas laterais:
f'-(1)=5, f'+(1)=2cdot1+3=5
Elas coincidem, então f é derivável em x=1. Concluímos que em (a) f é derivável para todo R.

Passo 4

No item (b), para xneq1 temos a reta f(x)=-x+3, que é derivável em todo R e tem f'(x)=-1. Em x=1, observamos que
limxto1f(x)=-1+3=2, f(1)=3,
logo a função não é contínua em x=1 e, portanto, não é derivável nesse ponto.

Resposta

(a) f é derivável em todo R, com
f'(x)=2x+3,&x>=1,5,&x<1
(b) f é derivável apenas para xneq1, com
f'(x)=-1, xneq1,
e não é derivável em x=1 porque falta continuidade.

Exercícios relacionados