Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. A gente tem a equação $ y’ + 2x y = 0 $ e uma solução proposta em série $ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n} $. Nosso objetivo é verificar se essa série realmente resolve a equação e entender como chegar a essa solução usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar séries de potências e como manipular termos em séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências é uma soma infinita do tipo $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $, onde $ a_n $ são os coeficientes. Essas séries são úteis para representar funções que talvez não possamos expressar de outra forma simples.
Passo 3
Vamos começar derivando a série $ y $. A derivada de uma série de potências é obtida derivando termo a termo. Então, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar $ y $ por $ 2x $:
Passo 5
Vamos agora substituir $ y’ $ e $ 2x y $ na equação diferencial $ y’ + 2x y = 0 $:
Passo 6
Para somar as duas séries, é conveniente ajustar os índices para que as potências de $ x $ sejam as mesmas. Vamos fazer uma mudança de índice na segunda série substituindo $ n $ por $ n-1 $:
Passo 7
Agora, juntamos as duas séries:
Para que isso seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 8
Simplificando a equação acima:
Fatorando $ \frac{2 (-1)^{n}}{n!} $:
O que confirma que a soma das séries resulta em zero, satisfazendo a equação diferencial.
Resposta
A série $ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n} $ é solução da equação diferencial $ y’ + 2x y = 0 $.