Consideres as equações diferenciais abaixo e resolva utilizando séries de potências:
y=sumn=0^infty (-1)^nn! x^2 n, y^prime+2 x y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. A gente tem a equação $ y’ + 2x y = 0 $ e uma solução proposta em série $ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n} $. Nosso objetivo é verificar se essa série realmente resolve a equação e entender como chegar a essa solução usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar séries de potências e como manipular termos em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências é uma soma infinita do tipo $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $, onde $ a_n $ são os coeficientes. Essas séries são úteis para representar funções que talvez não possamos expressar de outra forma simples.

Passo 3

Vamos começar derivando a série $ y $. A derivada de uma série de potências é obtida derivando termo a termo. Então, temos:
y
Simplificando, fica:
y' = ddx ( sumn=0^infty (-1)^nn! x^2n ) = sumn=0^infty (-1)^nn! cdot 2n x^2n-1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar $ y $ por $ 2x $:
y

Passo 5

Vamos agora substituir $ y’ $ e $ 2x y $ na equação diferencial $ y’ + 2x y = 0 $:
y'

Passo 6

Para somar as duas séries, é conveniente ajustar os índices para que as potências de $ x $ sejam as mesmas. Vamos fazer uma mudança de índice na segunda série substituindo $ n $ por $ n-1 $:
x

Passo 7

Agora, juntamos as duas séries:
sumn=0^infty ( (-1)^n cdot 2nn! + (-1)^n-1 cdot 2(n-1)! ) x^2n-1 = 0
Para que isso seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero:
x

Passo 8

Simplificando a equação acima:
2n (-1)^nn! - 2 (-1)^n(n-1)! = 0
Fatorando $ \frac{2 (-1)^{n}}{n!} $:
2 (-1)^nn!
O que confirma que a soma das séries resulta em zero, satisfazendo a equação diferencial.

Resposta

A série $ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n} $ é solução da equação diferencial $ y’ + 2x y = 0 $.

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