By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não tem limite quando
. Esse é um problema de limite de função de duas variáveis. Para provar que o limite não existe, vamos escolher dois caminhos de aproximação que levem a valores diferentes.
Passo 2
Considere o caminho de reta genérico
, com
(para manter
). Substituindo em
obtemos
Note que esse valor independe de
(logo do ponto que se aproxima), mas depende de
.
Passo 3
Escolha
(isto é,
). Então
Passo 4
Escolha
(isto é,
). Então
Passo 5
Como pelo caminho
o limite vale
e pelo caminho
vale
, os dois resultados são diferentes. Logo o limite de
em
não existe.
Resposta
O limite
não existe.