By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
f(x, y)=\frac{x y}{|x y|}

Passo 1

O enunciado pede para estudar
f(x,y)=\frac{xy}{\lvert xy\rvert}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e o teste de existência via caminhos diferentes: se obtivermos valores distintos ao longo de duas curvas que se aproximam de (0,0), concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos a reta y=x. Para x\neq0 temos
xy = x\cdot x = x^2>0 \quad\Longrightarrow\quad \lvert xy\rvert = x^2,
então
f(x,x)=\frac{x^2}{x^2}=1.
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\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=x}f(x,y)=1.

Passo 3

Agora a reta y=-x. Para x\neq0 vem
xy = x\cdot(-x) = -x^2<0 \quad\Longrightarrow\quad \lvert xy\rvert = x^2,
portanto
f(x,-x)=\frac{-x^2}{x^2}=-1.
Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=-x}f(x,y)=-1.

Passo 4

Como os limites ao longo de y=x e de y=-x são diferentes (1 e -1), a função não pode ter limite único em (0,0).

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\lvert xy\rvert} não existe.

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