Use this result to support your answers to the questions in Exercises 45-48.
Does knowing that
1-\frac{x^{2} y^{2}}{3}<\frac{\tan ^{-1} x y}{x y}<1
tell you anything about
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\tan ^{-1} x y}{x y} ?
Give reasons for your answer.
The Sandwich Theorem for functions of two variables states that if g(x, y) \leq f(x, y) \leq h(x, y) for all (x, y) \neq\left(x_{0}, y_{0}\right) in a disk centered at ( x_{0}, y_{0} ) and if g and h have the same finite limit L as (x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right), then
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=L .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{\tan^{-1}(xy)}{xy}
e a desigualdade
1-\frac{x^{2}y^{2}}{3}<\frac{\tan^{-1}(xy)}{xy}<1.
Estamos no tópico de limite de funções de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (Sandwich).

Passo 2

Definimos as funções de comparação
g(x,y)=1-\frac{x^{2}y^{2}}{3}, \quad h(x,y)=1.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}y^{2}=0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) =1-\frac{0}{3} =1,
e claramente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=1.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, como
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
e ambos os limites de g e h valem 1, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\tan^{-1}(xy)}{xy}=1.

Resposta

O limite é 1.

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