Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar se a sequência
tem limite zero quando
. O conteúdo envolve fatorial, fatorial duplo e limite de sequência.
Passo 2
Reconhecemos o produto de ímpares
como o fatorial duplo de
, denotado por
. A identidade conhecida é:
Passo 3
Substituindo essa expressão em
temos:
Passo 4
Observamos que o coeficiente binomial central é definido por
Passo 5
Logo podemos reescrever
como
Passo 6
Para mostrar que isso vai a zero, utilizamos a desigualdade clássica
Passo 7
Assim
[a_n=\frac{2n}{\binom{2n}{n}}\le\frac{2n}{4n/(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}."]
Passo 8
Como
, concluímos que
.
Resposta
Verdadeira. O limite é 0.