Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
lim n infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar se a sequência an=n!1cdot3cdot5cdots(2n-1) tem limite zero quando ntoinfty. O conteúdo envolve fatorial, fatorial duplo e limite de sequência.

Passo 2

Reconhecemos o produto de ímpares 1cdot3cdots(2n-1) como o fatorial duplo de 2n-1, denotado por (2n-1)!!. A identidade conhecida é:
(2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!

Passo 3

Substituindo essa expressão em an temos:
an=n!(2n-1)!!=n!cdot2^n,n!(2n)!=2^n,(n!)^2(2n)!

Passo 4

Observamos que o coeficiente binomial central é definido por
binom2nn=(2n)!(n!)^2

Passo 5

Logo podemos reescrever an como
an=2^nbinom2nn

Passo 6

Para mostrar que isso vai a zero, utilizamos a desigualdade clássica
binom2nn>=4^n2n+1

Passo 7

Assim
[a_n=\frac{2n}{\binom{2n}{n}}\le\frac{2n}{4n/(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}."]

Passo 8

Como limntoinfty2n+12^n=0, concluímos que limntoinftyan=0.

Resposta

Verdadeira. O limite é 0.

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